Сайт находится в стадии начальной разработки. По вопросам и идеям писать сюда (кликабельно)

Версия для печати

Настройте параметры PDF:

1. Задание 1.

В треугольнике ABC угол C равен 90 ^\circ , AB = 10, BC = \sqrt{19} . Найдите cosA. Изображение к заданию
Решение:
В треугольнике ABC \angle C = 90^\circ , AB = 10 , BC = \sqrt{19} . Необходимо найти \cos A . Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны AC : AB^2 = AC^2 + BC^2 Подставим известные значения: 10^2 = AC^2 + (\sqrt{19})^2 100 = AC^2 + 19 AC^2 = 81 AC = 9 Теперь найдём \cos A . Напоминаем, что \cos A = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} , то есть \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{10} Ответ: \frac{9}{10} .
Ответ: 0,9

2. Задание 1.

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 41 ^\circ . Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение:
Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O . \angle ACB = 41^\circ . Необходимо найти величину угла \angle AOD . Так как AC и BD являются диаметрами окружности, то угол, заключённый между ними, является центральным углом, и его величина в два раза больше, чем угол, образованный соответствующими хордами на окружности. Используем теорему, что центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и углы на окружности, равен удвоенному углу на окружности. Пусть \angle ACB — угол на окружности, который опирается на дугу AB . Тогда центральный угол \angle AOD , опирающийся на ту же дугу AB , будет в два раза больше: \angle AOD = 2 \times \angle ACB = 2 \times 41^\circ = 82^\circ Ответ: 82^\circ .
Ответ: 82

3. Задание 1.

Найдите величину угла ACO, если его сторона CA касается окружности с центром O, отрезок CO пересекает окружность в точке B, а дуга AB окружности, заключённая внутри этого угла, равна 66 ^\circ . Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение:
Воспользуемся свойством радиуса, проведенного в точку касания. Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касатаельной. Значит \triangle AOC - прямоугольный. \angle AOB равен дуге AB , на которую опирается (По свойству центрального угла) \angle AOB = 66^\circ \angle ACO = 90^\circ - 66^\circ = 34^\circ
Ответ: 34

4. Задание 1.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103 ^\circ , угол CAD равен 42 ^\circ . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. \angle ABC = 103^\circ , \angle CAD = 42^\circ . Необходимо найти \angle ABD . Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180^\circ . Следовательно: \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ 103^\circ + \angle ADC = 180^\circ \angle ADC = 77^\circ Теперь рассмотрим треугольник ABD . В нём угол \angle ABD и угол \angle ADC являются соседними углами. Из теоремы о внешнем угле для треугольника: \angle ABD = \angle ABC - \angle CAD Подставим известные значения: \angle ABD = 103^\circ - 42^\circ = 61^\circ Ответ: 61^\circ .
Ответ: 61

5. Задание 1.

В треугольнике ABC угол C равен 90 ^\circ , AB = 10, AC = \sqrt{91} . Найдите sinA. Изображение к заданию
Решение:
В треугольнике ABC \angle C = 90^\circ , AB = 10 , AC = \sqrt{91} . Необходимо найти \sin A . Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны BC : AB^2 = AC^2 + BC^2 Подставим известные значения: 10^2 = (\sqrt{91})^2 + BC^2 100 = 91 + BC^2 BC^2 = 9 BC = 3 Теперь найдём \sin A . Напоминаем, что \sin A = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}} , то есть \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{10} Ответ: \frac{3}{10} .
Ответ: 0,3

6. Задание 1.

В треугольнике ABC сторона AB = 3 \sqrt{2} , угол C = 135 ^\circ . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности. Изображение к заданию
Решение:
В треугольнике ABC дана сторона AB = 3\sqrt{2} и \angle C = 135^\circ . Необходимо найти радиус описанной окружности. Используем формулу для радиуса описанной окружности треугольника: R = \frac{a}{2 \sin A} где a — длина стороны, а A — \angle напротив этой стороны. В данном случае a = AB = 3\sqrt{2} , и \angle C = 135^\circ , следовательно, \angle A = 135^\circ . Таким образом, радиус R равен: R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \sin 135^\circ} Поскольку \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} , подставим это значение в формулу: R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 Ответ: 3 .
Ответ: 3

7. Задание 1.

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 59 ^\circ и 102 ^\circ . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение:
Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180^\circ . Обозначим углы четырёхугольника как \angle A , \angle B , \angle C и \angle D . Даны углы \angle A = 59^\circ и \angle B = 102^\circ . Найдём углы \angle C и \angle D : \angle A + \angle C = 180^\circ 59^\circ + \angle C = 180^\circ \angle C = 121^\circ \angle B + \angle D = 180^\circ 102^\circ + \angle D = 180^\circ \angle D = 78^\circ Таким образом, больший из оставшихся углов: 121^\circ Ответ: 121^\circ .
Ответ: 121

8. Задание 1.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120 ^\circ , угол ABD равен 43 ^\circ . Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение:

Так как четырехугольник ABCD вписан в окружность, то сумма противоположных углов в нем равна 180^\circ .

Это свойство касается углов, лежащих на одной прямой, то есть угол \angle ABC и угол \angle ADC должны в сумме давать 180^\circ . Таким образом: \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.

Теперь обратим внимание на угол \angle ABD . Он составляется из углов \angle ABC и \angle CAD , так как они лежат на одной прямой: \angle ABD = \angle ABC + \angle CAD.

Подставляем известные значения: 43^\circ = 120^\circ + \angle CAD.

Решаем это уравнение: \angle CAD = 43^\circ - 120^\circ = -77^\circ.

Ответ: 77

9. Задание 1.

Площадь параллелограмма ABCD равна 28. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE. Изображение к заданию
Решение:
[image:0:right]

1. Проведем отрезок DT параллельно стороне BE .

Так как DT \parallel BE и ABCD — параллелограмм, то DT будет равен BE и параллелен ему.

Точка T лежит на стороне BC .

2. Проведем отрезок TE : Точка E — середина стороны AD , поэтому AE = ED = \frac{AD}{2} .

Отрезок TE соединяет точку T на BC с точкой E на AD .

3. Разделим фигуру на треугольники: Получаем четыре треугольника: \triangle DTE , \triangle TEB , \triangle EBA , и \triangle CDT .

Все эти треугольники равны по площади, так как они имеют равные основания и высоты.

4. Площадь параллелограмма ABCD равна 28.

Поскольку фигура разделена на 4 равных треугольника, площадь каждого треугольника равна: S_{\triangle} = \frac{S_{ABCD}}{4} = \frac{28}{4} = 7

5. Трапеция BCDE состоит из трех таких треугольников: \triangle TEB , \triangle EBD , и \triangle BDT . Следовательно, площадь трапеции равна: S_{BCDE} = 3 \times S_{\triangle} = 3 \times 7 = 21

Изображение решения
Ответ: 21

10. Задание 1.

Две стороны треугольника равны 15 и 18. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон. Изображение к заданию
Решение:

Обозначим основание, на которое опущена высота, за b , а саму высоту за h . По формуле площади треугольника: S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота.

Подставляем данные для стороны 18 и высоты 10 : S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 10 = 90.

Теперь выразим высоту h , опущенную на сторону 15 , используя ту же формулу площади: 90 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h.

Решим уравнение: h = \frac{2 \cdot 90}{15} = \frac{180}{15} = 12.

Ответ: 12

11. Задание 1.

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 107 ^\circ . Найдите угол C. Изображение к заданию
Решение:
Так как AC = BC , треугольник ABC равнобедренный, и его углы при основании A и B равны. Внешний угол при вершине B равен 107^\circ , а внутренний угол при вершине B вычисляется как: \angle ABC = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: \angle A = \angle B = 73^\circ. Используем сумму углов треугольника: \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ. Подставляем известные значения: 73^\circ + 73^\circ + \angle C = 180^\circ. Решаем уравнение: \angle C = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ. Ответ: 34 .
Ответ: 34

12. Задание 1.

В четырехугольник ABCD вписана окружность. Известно, что AB = 10, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника ABCD. Изображение к заданию
Решение:
Так как в вписанном четырехугольнике суммы его противоположных сторон равны, получаем: AB + CD = AD + BC Подставляем значения: 10 + 17 = AD + BC Следовательно, периметр четырехугольника: P = AB + BC + CD + AD = 10 + 17 + 10 + 17 = 54 Ответ: 54 .
Ответ: 54

13. Задание 1.

Площадь треугольника ABC равна 24. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED. Изображение к заданию
Решение:
Используем свойство средней линии в треугольнике. Так как DE — это средняя линия, она делит треугольник ABC на два меньших треугольника, один из которых является треугольником CDE . Площадь треугольника CDE будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC , так как длины сторон треугольника CDE в 2 раза меньше. Площадь треугольника CDE можно вычислить следующим образом: S_{CDE} = \frac{1}{4} \times S_{ABC} = \frac{1}{4} \times 24 = 6. Теперь вычислим площадь трапеции ABED : S_{ABED} = S_{ABC} - S_{CDE} = 24 - 6 = 18. Ответ: 18 .
Ответ: 18

14. Задание 1.

В прямоугольном треугольнике ABC угол B = 21°. Необходимо найти величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C. Изображение к заданию
Решение:
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине C . Известно, что: \angle B = 21^\circ. Так как сумма углов в треугольнике равна 180^\circ , находим угол A : \angle A = 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ. Медиана CM , проведённая из вершины C на гипотенузу AB , делит \triangle ABC на два равнобедренных треугольника \triangle AMC и \triangle BMC , так как медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно: \angle MCB = \angle MCA = 21^\circ. Биссектриса CD делит угол \angle ACB = 90^\circ пополам, значит: \angle DCB = \angle DCA = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ. Теперь найдём угол между биссектрисой CD и медианой CM : \angle DCM = \angle DCB - \angle MCB = 45^\circ - 21^\circ = 24^\circ. Ответ: 24^\circ .
Ответ: 24

15. Задание 1.

Найдите центральный угол, если он на 28° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Изображение к заданию
Решение:
Обозначим вписанный угол через x . Согласно свойству центрального и вписанного углов, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного: Центральный угол} = 2x. По условию задачи центральный угол на 28^\circ больше вписанного: 2x = x + 28. Решим уравнение: 2x - x = 28, x = 28. Теперь найдём центральный угол: 2x = 2 \cdot 28 = 56. Ответ: 56^\circ .
Ответ: 56

16. Задание 1.

Дано два цилиндра. Объем первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Изображение к заданию
Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = \pi r^2 h, где r — радиус основания, а h — высота цилиндра.

Обозначим радиус и высоту первого цилиндра как r_1 и h_1 , а объем первого цилиндра равен: V_1 = \pi r_1^2 h_1 = 15.

Для второго цилиндра радиус в два раза больше, то есть r_2 = 2r_1 , а высота в 3 раза меньше, то есть h_2 = \frac{h_1}{3} .

Объем второго цилиндра будет: V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (2r_1)^2 \cdot \frac{h_1}{3} = \pi \cdot 4r_1^2 \cdot \frac{h_1}{3}.

Заменим \pi r_1^2 h_1 на 15: V_2 = \frac{4}{3} \cdot 15 = 20. .

Ответ: 20

17. Задание 1.

Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2:3. Найдите большее основание трапеции. Изображение к заданию
Решение:

Обозначим трапецию за ABCD, MN — средняя линия. BD пересекает MN в точке О.

[image:0:right]

Рассмотрим среднюю линию трапеции. Пусть x - одна часть. Тогда MO=3x, NO=2x. Так как MN - средняя линия трапеции, то MO это средняя линия треугольника ABD. Аналогично, ON - средняя линия треугольника BDC. Откуда следует, что AD равно половине MO. Найдем x:

MN=MO+ON=3x+2x=5x;

5x=24 | :5

x=4,8. [

Значит MO=14,4 => AD=28,8 Ответ: 28,8

Изображение решения
Ответ: 28,8

18. Задание 1.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем конуса равен 48. Найдите объем цилиндра Изображение к заданию
Решение:
[image:0:right]

1) Объём конуса вычисляется по формуле: V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 48

2) Объём цилиндра с такими же основанием и высотой: V_{\text{цил}} = \pi r^2 h

3) Так как у них одинаковые основание и высота, то V_{\text{цил}} = 3 \times V_{\text{кон}} 3 \times 48 = 144

Изображение решения
Ответ: 144

19. Задание 1.

Площадь параллелограмма равна 180, две его стороны равны 60 и 80. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма Изображение к заданию
Решение:
[image:0:right]

Обозначим: ABCD - параллелограмм, BH и BN - высоты. Пусть меньшая сторона это CD, тогда бОльшая это AD.

1) Площадь параллелограмма: S = a \cdot h_a где h_a — высота, проведённая к стороне a .

Так как AD - бОльшая сторона, то BH - меньшая высота, так как меньшая высота проводится к большей стороне. Значит пусть h_a = BH . Тогда сторона a = AD. Следовательно:

h_a = \frac{S}{AD} = \frac{180}{60} = 3

Изображение решения
Ответ: 3

20. Задание 1.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 73°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение:
[image:0:right]

Угол ABC состоит из двух углов: ∠ABC=∠ABD+∠CBD. Все они вписанные (все точки лежат на окружности). Заметим, что ∠CAD опирается на ту же дугу, что ∠CBD Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны. Значит ∠CAD=∠CBD=55°.

Отсюда следует, что ∠ABC=73°+55°=128°

Изображение решения
Ответ: 128