На координатной плоскости изображены векторы \( \overrightarrow{a} \) и \( \overrightarrow{b} \), координаты которых являются целыми числами. Найдите длину вектора \( \overrightarrow{a + 4b} \). Найдем координаты векторов, разложив их на координатные векторы (см. рис.): [image:0] [NEWLINE] \[ \overrightarrow{a} (3;4), \quad \overrightarrow{b} (2;-1). \] Найдем координаты вектора \( \overrightarrow{a + 4b} \): \[ \overrightarrow{a + 4b} = (3;4) + 4 \cdot (2;-1). \] Выполняем умножение и сложение: \[ (3 + 4 \cdot 2; 4 + 4 \cdot (-1)) = (3 + 8; 4 - 4) = (11;0). \] Длина вектора \( \overrightarrow{a + 4b} \) находится по формуле: \[ |\overrightarrow{a + 4b}| = \sqrt{x^2 + y^2}. \] Подставляем координаты: \[ |\overrightarrow{a + 4b}| = \sqrt{11^2 + 0^2} = \sqrt{121} = 11. \]