Обозначим: [NEWLINE] скорость течения реки как \( x \) (в км/ч), скорость теплохода по течению: \( 25 + x \) (км/ч), скорость теплохода против течения: \( 25 - x \) (км/ч). Составим таблицу для анализа: $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Направление} & \textbf{\( v \) (км/ч)} & \textbf{S (км)} & \textbf{t (ч)} \\ \hline \text{По течению} & 25 + x & 609 & \frac{609}{25 + x} \\ \hline \text{Против течения} & 25 - x & 609 & \frac{609}{25 - x} \\ \hline \end{array} $$ Из условия известно, что общее время движения теплохода (с учетом стоянки) составляет 51 час. Составим уравнение: [NEWLINE] \[ \frac{609}{25 + x} + \frac{609}{25 - x} + 1 = 51. \] [NEWLINE] 1. Перенесём 1 час стоянки в правую часть: \[ \frac{609}{25 + x} + \frac{609}{25 - x} = 50. \] [NEWLINE] 2. Приведём левую часть к общему знаменателю: \[ \frac{609(25 - x) + 609(25 + x)}{(25 + x)(25 - x)} = 50. \] [NEWLINE] 3. Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{609 \cdot 25 - 609x + 609 \cdot 25 + 609x}{(25 + x)(25 - x)} = 50. \] [NEWLINE] 4. Упростим числитель: \[ \frac{609 \cdot 50}{(25 + x)(25 - x)} = 50. \] [NEWLINE] 5. Упростим знаменатель, используя формулу разности квадратов: \[ (25 + x)(25 - x) = 625 - x^2. \] Теперь уравнение принимает вид: \[ \frac{609 \cdot 50}{625 - x^2} = 50. \] [NEWLINE] 6. Умножим обе части уравнения на \( 625 - x^2 \), чтобы избавиться от знаменателя: \[ 609 \cdot 50 = 50 \cdot (625 - x^2). \] [NEWLINE] 7. Разделим обе части уравнения на 50: \[ 609 = 625 - x^2. \] [NEWLINE] 8. Перенесём \( x^2 \) в левую часть: \[ x^2 = 625 - 609. \] [NEWLINE] 9. Вычислим: \[ x^2 = 16. \] [NEWLINE] 10. Извлечём корень: \[ x = \sqrt{16} = 4. \]