Сайт находится в стадии начальной разработки. По вопросам и идеям писать сюда (кликабельно)

а) Решите уравнение: \[ \frac{4 \sin^3 x - 2 \sin x}{\sin (2x - \pi)} = 1 \] [NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-3\pi; -\frac{\pi}{2}]\).
1. ОДЗ: [NEWLINE] \[ \sin (2x - \pi) \neq 0 \] [NEWLINE] \[ 2x - \pi \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] [NEWLINE] \[ x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \] [NEWLINE] 2. Преобразуем числитель: \[ 4 \sin^3 x - 2 \sin x = 2 \sin x (2 \sin^2 x - 1) \] [NEWLINE] Используем основное тригонометрическое тождество: \[ 2 \sin^2 x - 1 = -\cos 2x \] [NEWLINE] Получаем: \[ 2 \sin x (-\cos 2x) = -2 \sin x \cos 2x \][NEWLINE] 3. Преобразуем знаменатель: \[ \sin (2x - \pi) = -\sin (2x) \] (используя формулы приведения). Если непонятно, почему так, то можете преобразовать следующим образом: [NEWLINE] \[ \sin ( - \pi + 2x) \], где \[ (- \pi + 2x) \] это III четверть, что означает отрицательный синус. Следовательно, \[ \sin ( - \pi + 2x) = -\sin (2x) \] [NEWLINE] 4. Уравнение принимает вид: [NEWLINE] \[ \frac{-2 \sin x \cos 2x}{-\sin 2x} = 1 \] [NEWLINE] \[ \frac{2 \sin x \cos 2x}{\sin 2x} = 1 \] [NEWLINE] Используем формулу двойного угла для знаменателя: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Подставляем: [NEWLINE] \[ \frac{2 \sin x \cos 2x}{2 \sin x \cos x} = 1 \] [NEWLINE] \[ \frac{\cos 2x}{\cos x} = 1 \] [NEWLINE] 5. Решаем уравнение: [NEWLINE] \[ \cos 2x = \cos x \] [NEWLINE] Используем формулу двойного угла: \[ 2 \cos^2 x - 1 = \cos x \] [NEWLINE] \[ 2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \] [NEWLINE] Делаем замену \( t = \cos x \): [NEWLINE] \[ 2t^2 - t - 1 = 0 \] [NEWLINE] \[ D = 1 + 8 = 9 \] [NEWLINE] \[ t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] [NEWLINE] \[ t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \] [NEWLINE] 6. Находим решения: [TWO-COLUMNS] 1) \( \cos x = 1 \): [CNEWLINE] \[ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] [CNEWLINE] Проверяем ОДЗ: [CNEWLINE] \[ x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2} \]. [CNEWLINE] Не подходит. [COLUMN-BREAK] 2) \( \cos x = -\frac{1}{2} \): [CNEWLINE] \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] [CNEWLINE] Проверяем ОДЗ: [CNEWLINE] \[ \frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2} \] [CNEWLINE] \[ -\frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2} \]. [CNEWLINE] Подходит. [/TWO-COLUMNS] Ответ: а)\( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). [NEWLINE] Решение пункта б: Проведем отбор корней с помощью тригонометрической окружности [NEWLINE] [image:0]

Задание 13, №155 (В банке заданий)

Текст задания:

а) Решите уравнение: \frac{4 \sin^3 x - 2 \sin x}{\sin (2x - \pi)} = 1

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3\pi; -\frac{\pi}{2}] .

Решение:

1. ОДЗ:

\sin (2x - \pi) \neq 0

2x - \pi \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}

2. Преобразуем числитель: 4 \sin^3 x - 2 \sin x = 2 \sin x (2 \sin^2 x - 1)

Используем основное тригонометрическое тождество: 2 \sin^2 x - 1 = -\cos 2x

Получаем: 2 \sin x (-\cos 2x) = -2 \sin x \cos 2x

3. Преобразуем знаменатель: \sin (2x - \pi) = -\sin (2x) (используя формулы приведения). Если непонятно, почему так, то можете преобразовать следующим образом:

\sin ( - \pi + 2x) , где (- \pi + 2x) это III четверть, что означает отрицательный синус. Следовательно, \sin ( - \pi + 2x) = -\sin (2x)

4. Уравнение принимает вид:

\frac{-2 \sin x \cos 2x}{-\sin 2x} = 1

\frac{2 \sin x \cos 2x}{\sin 2x} = 1

Используем формулу двойного угла для знаменателя: \sin 2x = 2 \sin x \cos x Подставляем:

\frac{2 \sin x \cos 2x}{2 \sin x \cos x} = 1

\frac{\cos 2x}{\cos x} = 1

5. Решаем уравнение:

\cos 2x = \cos x

Используем формулу двойного угла: 2 \cos^2 x - 1 = \cos x

2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0

Делаем замену t = \cos x :

2t^2 - t - 1 = 0

D = 1 + 8 = 9

t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1

t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}

6. Находим решения:

1) \cos x = 1 :

x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Проверяем ОДЗ:

x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2} .

Подходит.

2) \cos x = -\frac{1}{2} :

x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}

Проверяем ОДЗ:

\frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}

-\frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2} .

Подходит.

Ответ: а) x = 2\pi n , x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n , где n \in \mathbb{Z} .

Решение пункта б: Проведем отбор корней с помощью тригонометрической окружности

Solution image 0

Непонятное решение? Можете написать в комментариях, что именно непонятно.

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com

Оставить комментарий

Комментарии

Комментариев пока нет.