Сайт находится в стадии начальной разработки. По вопросам и идеям писать сюда (кликабельно)

Банк заданий

В треугольнике ABC угол C равен 90\(^\circ \), AB = 10, BC = \(\sqrt{19} \). Найдите cosA.

В треугольнике \( ABC \) \( \angle C = 90^\circ \), \( AB = 10 \), \( BC = \sqrt{19} \). Необходимо найти \( \cos A \). Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны \( AC \): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ 10^2 = AC^2 + (\sqrt{19})^2 \] \[ 100 = AC^2 + 19 \] \[ AC^2 = 81 \] \[ AC = 9 \] Теперь найдём \( \cos A \). Напоминаем, что \( \cos A = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} \), то есть \[ \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{10} \] Ответ: \( \frac{9}{10} \).

Задание 1, (№3 в банке заданий)

В треугольнике ABC угол C равен 90, AB = 10, BC = . Найдите cosA.

ℹ️

В треугольнике , , . Необходимо найти . Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны : Подставим известные значения: Теперь найдём . Напоминаем, что , то есть Ответ: .

Ответ: 0,9

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 41\(^\circ \). Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах.

Отрезки \( AC \) и \( BD \) — диаметры окружности с центром \( O \). \( \angle ACB = 41^\circ \). Необходимо найти величину угла \( \angle AOD \). Так как \( AC \) и \( BD \) являются диаметрами окружности, то угол, заключённый между ними, является центральным углом, и его величина в два раза больше, чем угол, образованный соответствующими хордами на окружности. Используем теорему, что центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и углы на окружности, равен удвоенному углу на окружности. Пусть \( \angle ACB \) — угол на окружности, который опирается на дугу \( AB \). Тогда центральный угол \( \angle AOD \), опирающийся на ту же дугу \( AB \), будет в два раза больше: \[ \angle AOD = 2 \times \angle ACB = 2 \times 41^\circ = 82^\circ \] Ответ: \( 82^\circ \).

Задание 1, (№4 в банке заданий)

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 41. Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах.

ℹ️

Отрезки и — диаметры окружности с центром . . Необходимо найти величину угла . Так как и являются диаметрами окружности, то угол, заключённый между ними, является центральным углом, и его величина в два раза больше, чем угол, образованный соответствующими хордами на окружности. Используем теорему, что центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и углы на окружности, равен удвоенному углу на окружности. Пусть — угол на окружности, который опирается на дугу . Тогда центральный угол , опирающийся на ту же дугу , будет в два раза больше: Ответ: .

Ответ: 82

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
Найдите величину угла ACO, если его сторона CA касается окружности с центром O, отрезок CO пересекает окружность в точке B, а дуга AB окружности, заключённая внутри этого угла, равна 66\(^\circ \). Ответ дайте в градусах.

Воспользуемся свойством радиуса, проведенного в точку касания. Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касатаельной. Значит \( \triangle AOC \) - прямоугольный. \( \angle AOB \) равен дуге \( AB \), на которую опирается (По свойству центрального угла) <br> \( \angle AOB = 66^\circ \) \[ \angle ACO = 90^\circ - 66^\circ = 34^\circ \]

Задание 1, (№5 в банке заданий)

Найдите величину угла ACO, если его сторона CA касается окружности с центром O, отрезок CO пересекает окружность в точке B, а дуга AB окружности, заключённая внутри этого угла, равна 66. Ответ дайте в градусах.

ℹ️

Воспользуемся свойством радиуса, проведенного в точку касания. Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касатаельной. Значит - прямоугольный. равен дуге , на которую опирается (По свойству центрального угла)

Ответ: 34

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103\(^\circ\), угол CAD равен 42\(^\circ\). Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник \(ABCD\) вписан в окружность. \( \angle ABC = 103^\circ \), \( \angle CAD = 42^\circ \). Необходимо найти \( \angle ABD \). Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Следовательно: \[ \angle ABC + \angle ADC = 180^\circ \] \[ 103^\circ + \angle ADC = 180^\circ \] \[ \angle ADC = 77^\circ \] Теперь рассмотрим треугольник \( ABD \). В нём угол \( \angle ABD \) и угол \( \angle ADC \) являются соседними углами. Из теоремы о внешнем угле для треугольника: \[ \angle ABD = \angle ABC - \angle CAD \] Подставим известные значения: \[ \angle ABD = 103^\circ - 42^\circ = 61^\circ \] Ответ: \( 61^\circ \).

Задание 1, (№6 в банке заданий)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103, угол CAD равен 42. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

ℹ️

Четырёхугольник вписан в окружность. , . Необходимо найти . Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна . Следовательно: Теперь рассмотрим треугольник . В нём угол и угол являются соседними углами. Из теоремы о внешнем угле для треугольника: Подставим известные значения: Ответ: .

Ответ: 61

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
В треугольнике ABC угол C равен 90\(^\circ\), AB = 10, AC = \(\sqrt{91}\). Найдите sinA.

В треугольнике \(ABC\) \( \angle C = 90^\circ \), \( AB = 10 \), \( AC = \sqrt{91} \). Необходимо найти \( \sin A \). Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны \( BC \): \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \] Подставим известные значения: \[ 10^2 = (\sqrt{91})^2 + BC^2 \] \[ 100 = 91 + BC^2 \] \[ BC^2 = 9 \] \[ BC = 3 \] Теперь найдём \( \sin A \). Напоминаем, что \( \sin A = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}} \), то есть \[ \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{10} \] Ответ: \( \frac{3}{10} \).

Задание 1, (№7 в банке заданий)

В треугольнике ABC угол C равен 90, AB = 10, AC = . Найдите sinA.

ℹ️

В треугольнике , , . Необходимо найти . Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны : Подставим известные значения: Теперь найдём . Напоминаем, что , то есть Ответ: .

Ответ: 0,3

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
В треугольнике ABC сторона AB = 3\(\sqrt{2} \), угол C = 135\(^\circ \). Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

В треугольнике \( ABC \) дана сторона \( AB = 3\sqrt{2} \) и \( \angle C = 135^\circ \). Необходимо найти радиус описанной окружности. Используем формулу для радиуса описанной окружности треугольника: \[ R = \frac{a}{2 \sin A} \] где \( a \) — длина стороны, а \( A \) — \( \angle \) напротив этой стороны. В данном случае \( a = AB = 3\sqrt{2} \), и \( \angle C = 135^\circ \), следовательно, \( \angle A = 135^\circ \). Таким образом, радиус \( R \) равен: \[ R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \sin 135^\circ} \] Поскольку \( \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \), подставим это значение в формулу: \[ R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \] Ответ: \( 3 \).

Задание 1, (№8 в банке заданий)

В треугольнике ABC сторона AB = 3, угол C = 135. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

ℹ️

В треугольнике дана сторона и . Необходимо найти радиус описанной окружности. Используем формулу для радиуса описанной окружности треугольника: где — длина стороны, а — напротив этой стороны. В данном случае , и , следовательно, . Таким образом, радиус равен: Поскольку , подставим это значение в формулу: Ответ: .

Ответ: 3

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 59\(^\circ \) и 102\(^\circ \). Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Обозначим углы четырёхугольника как \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\) и \(\angle D\). Даны углы \(\angle A = 59^\circ\) и \(\angle B = 102^\circ\). Найдём углы \(\angle C\) и \(\angle D\): \[ \angle A + \angle C = 180^\circ \] \[ 59^\circ + \angle C = 180^\circ \] \[ \angle C = 121^\circ \] \[ \angle B + \angle D = 180^\circ \] \[ 102^\circ + \angle D = 180^\circ \] \[ \angle D = 78^\circ \] Таким образом, больший из оставшихся углов: \[ 121^\circ \] Ответ: \(121^\circ\).

Задание 1, (№9 в банке заданий)

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 59 и 102. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

ℹ️

Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна . Обозначим углы четырёхугольника как , , и . Даны углы и . Найдём углы и : Таким образом, больший из оставшихся углов: Ответ: .

Ответ: 121

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120\(^\circ\), угол ABD равен 43\(^\circ\). Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

Так как четырехугольник \(ABCD\) вписан в окружность, то сумма противоположных углов в нем равна \(180^\circ\). [NEWLINE] Это свойство касается углов, лежащих на одной прямой, то есть угол \( \angle ABC \) и угол \( \angle ADC \) должны в сумме давать \(180^\circ\). Таким образом: \[ \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ. \] [NEWLINE] Теперь обратим внимание на угол \( \angle ABD \). Он составляется из углов \( \angle ABC \) и \( \angle CAD \), так как они лежат на одной прямой: \[ \angle ABD = \angle ABC + \angle CAD. \] [NEWLINE] Подставляем известные значения: \[ 43^\circ = 120^\circ + \angle CAD. \] [NEWLINE] Решаем это уравнение: \[ \angle CAD = 43^\circ - 120^\circ = -77^\circ. \]

Задание 1, (№10 в банке заданий)

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120, угол ABD равен 43. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.

ℹ️

Так как четырехугольник вписан в окружность, то сумма противоположных углов в нем равна .
Это свойство касается углов, лежащих на одной прямой, то есть угол и угол должны в сумме давать . Таким образом:
Теперь обратим внимание на угол . Он составляется из углов и , так как они лежат на одной прямой:
Подставляем известные значения:
Решаем это уравнение:

Ответ: 77

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
Площадь параллелограмма ABCD равна 28. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

[image:0:right] 1. Проведем отрезок \(DT\) параллельно стороне \(BE\). [IMAGENEWLINE] Так как \(DT \parallel BE\) и \(ABCD\) — параллелограмм, то \(DT\) будет равен \(BE\) и параллелен ему.[IMAGENEWLINE] Точка \(T\) лежит на стороне \(BC\).[IMAGENEWLINE] 2. Проведем отрезок \(TE\): Точка \(E\) — середина стороны \(AD\), поэтому \(AE = ED = \frac{AD}{2}\). [IMAGENEWLINE] Отрезок \(TE\) соединяет точку \(T\) на \(BC\) с точкой \(E\) на \(AD\).[IMAGENEWLINE] 3. Разделим фигуру на треугольники: Получаем четыре треугольника: \(\triangle DTE\), \(\triangle TEB\), \(\triangle EBA\), и \(\triangle CDT\).[IMAGENEWLINE] Все эти треугольники равны по площади, так как они имеют равные основания и высоты. [IMAGENEWLINE] 4. Площадь параллелограмма \(ABCD\) равна 28. [IMAGENEWLINE] Поскольку фигура разделена на 4 равных треугольника, площадь каждого треугольника равна: \[ S_{\triangle} = \frac{S_{ABCD}}{4} = \frac{28}{4} = 7 \] [IMAGENEWLINE] 5. Трапеция \(BCDE\) состоит из трех таких треугольников: \(\triangle TEB\), \(\triangle EBD\), и \(\triangle BDT\). Следовательно, площадь трапеции равна: \[ S_{BCDE} = 3 \times S_{\triangle} = 3 \times 7 = 21 \]

Задание 1, (№11 в банке заданий)

Площадь параллелограмма ABCD равна 28. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

ℹ️

1. Проведем отрезок параллельно стороне .
Так как и — параллелограмм, то будет равен и параллелен ему.
Точка лежит на стороне .
2. Проведем отрезок : Точка — середина стороны , поэтому .
Отрезок соединяет точку на с точкой на .
3. Разделим фигуру на треугольники: Получаем четыре треугольника: , , , и .
Все эти треугольники равны по площади, так как они имеют равные основания и высоты.
4. Площадь параллелограмма равна 28.
Поскольку фигура разделена на 4 равных треугольника, площадь каждого треугольника равна:
5. Трапеция состоит из трех таких треугольников: , , и . Следовательно, площадь трапеции равна:

Ответ: 21

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
Две стороны треугольника равны 15 и 18. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон.

Обозначим основание, на которое опущена высота, за \( b \), а саму высоту за \( h \). По формуле площади треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота. \] [NEWLINE] Подставляем данные для стороны \( 18 \) и высоты \( 10 \): \[ S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 10 = 90. \] [NEWLINE] Теперь выразим высоту \( h \), опущенную на сторону \( 15 \), используя ту же формулу площади: \[ 90 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h. \] [NEWLINE] Решим уравнение: \[ h = \frac{2 \cdot 90}{15} = \frac{180}{15} = 12. \]

Задание 1, (№12 в банке заданий)

Две стороны треугольника равны 15 и 18. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон.

ℹ️

Обозначим основание, на которое опущена высота, за , а саму высоту за . По формуле площади треугольника:
Подставляем данные для стороны и высоты :
Теперь выразим высоту , опущенную на сторону , используя ту же формулу площади:
Решим уравнение:

Ответ: 12

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 107\(^\circ \). Найдите угол C.

Так как \( AC = BC \), треугольник \( ABC \) равнобедренный, и его углы при основании \( A \) и \( B \) равны. Внешний угол при вершине \( B \) равен \( 107^\circ \), а внутренний угол при вершине \( B \) вычисляется как: \[ \angle ABC = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ. \] Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: \[ \angle A = \angle B = 73^\circ. \] Используем сумму углов треугольника: \[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ. \] Подставляем известные значения: \[ 73^\circ + 73^\circ + \angle C = 180^\circ. \] Решаем уравнение: \[ \angle C = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ. \] Ответ: \( 34 \).

Задание 1, (№13 в банке заданий)

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 107. Найдите угол C.

ℹ️

Так как , треугольник равнобедренный, и его углы при основании и равны. Внешний угол при вершине равен , а внутренний угол при вершине вычисляется как: Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: Используем сумму углов треугольника: Подставляем известные значения: Решаем уравнение: Ответ: .

Ответ: 34

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
В четырехугольник ABCD вписана окружность. Известно, что AB = 10, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

Так как в вписанном четырехугольнике суммы его противоположных сторон равны, получаем: \[ AB + CD = AD + BC \] Подставляем значения: \[ 10 + 17 = AD + BC \] Следовательно, периметр четырехугольника: \[ P = AB + BC + CD + AD = 10 + 17 + 10 + 17 = 54 \] Ответ: \( 54 \).

Задание 1, (№14 в банке заданий)

В четырехугольник ABCD вписана окружность. Известно, что AB = 10, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

ℹ️

Так как в вписанном четырехугольнике суммы его противоположных сторон равны, получаем: Подставляем значения: Следовательно, периметр четырехугольника: Ответ: .

Ответ: 54

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
Площадь треугольника ABC равна 24. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

Используем свойство средней линии в треугольнике. Так как \( DE \) — это средняя линия, она делит треугольник \( ABC \) на два меньших треугольника, один из которых является треугольником \( CDE \). Площадь треугольника \( CDE \) будет в 4 раза меньше площади треугольника \( ABC \), так как длины сторон треугольника \( CDE \) в 2 раза меньше. Площадь треугольника \( CDE \) можно вычислить следующим образом: \[ S_{CDE} = \frac{1}{4} \times S_{ABC} = \frac{1}{4} \times 24 = 6. \] Теперь вычислим площадь трапеции \( ABED \): \[ S_{ABED} = S_{ABC} - S_{CDE} = 24 - 6 = 18. \] Ответ: \( 18 \).

Задание 1, (№15 в банке заданий)

Площадь треугольника ABC равна 24. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.

ℹ️

Используем свойство средней линии в треугольнике. Так как — это средняя линия, она делит треугольник на два меньших треугольника, один из которых является треугольником . Площадь треугольника будет в 4 раза меньше площади треугольника , так как длины сторон треугольника в 2 раза меньше. Площадь треугольника можно вычислить следующим образом: Теперь вычислим площадь трапеции : Ответ: .

Ответ: 18

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
В прямоугольном треугольнике ABC угол B = 21°. Необходимо найти величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABC \) с прямым углом при вершине \( C \). Известно, что: \[ \angle B = 21^\circ. \] Так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \), находим угол \( A \): \[ \angle A = 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ. \] Медиана \( CM \), проведённая из вершины \( C \) на гипотенузу \( AB \), делит \( \triangle ABC \) на два равнобедренных треугольника \( \triangle AMC \) и \( \triangle BMC \), так как медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно: \[ \angle MCB = \angle MCA = 21^\circ. \] Биссектриса \( CD \) делит угол \( \angle ACB = 90^\circ \) пополам, значит: \[ \angle DCB = \angle DCA = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ. \] Теперь найдём угол между биссектрисой \( CD \) и медианой \( CM \): \[ \angle DCM = \angle DCB - \angle MCB = 45^\circ - 21^\circ = 24^\circ. \] Ответ: \( 24^\circ \).

Задание 1, (№16 в банке заданий)

В прямоугольном треугольнике ABC угол B = 21°. Необходимо найти величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C.

ℹ️

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине . Известно, что: Так как сумма углов в треугольнике равна , находим угол : Медиана , проведённая из вершины на гипотенузу , делит на два равнобедренных треугольника и , так как медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно: Биссектриса делит угол пополам, значит: Теперь найдём угол между биссектрисой и медианой : Ответ: .

Ответ: 24

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
Найдите центральный угол, если он на 28° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

Обозначим вписанный угол через \( x \). Согласно свойству центрального и вписанного углов, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного: Центральный угол} = 2x. По условию задачи центральный угол на \( 28^\circ \) больше вписанного: \[ 2x = x + 28. \] Решим уравнение: \[ 2x - x = 28, \] \[ x = 28. \] Теперь найдём центральный угол: \[ 2x = 2 \cdot 28 = 56. \] Ответ: \( 56^\circ \).

Задание 1, (№17 в банке заданий)

Найдите центральный угол, если он на 28° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

ℹ️

Обозначим вписанный угол через . Согласно свойству центрального и вписанного углов, центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного: Центральный угол} = 2x. По условию задачи центральный угол на больше вписанного: Решим уравнение: Теперь найдём центральный угол: Ответ: .

Ответ: 56

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
Дано два цилиндра. Объем первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: \[ V = \pi r^2 h, \] где \(r\) — радиус основания, а \(h\) — высота цилиндра. [NEWLINE] Обозначим радиус и высоту первого цилиндра как \(r_1\) и \(h_1\), а объем первого цилиндра равен: \[ V_1 = \pi r_1^2 h_1 = 15. \] [NEWLINE] Для второго цилиндра радиус в два раза больше, то есть \(r_2 = 2r_1\), а высота в 3 раза меньше, то есть \(h_2 = \frac{h_1}{3}\). [NEWLINE] Объем второго цилиндра будет: \[ V_2 = \pi r_2^2 h_2 = \pi (2r_1)^2 \cdot \frac{h_1}{3} = \pi \cdot 4r_1^2 \cdot \frac{h_1}{3}. \] [NEWLINE] Заменим \( \pi r_1^2 h_1 \) на 15: \[ V_2 = \frac{4}{3} \cdot 15 = 20. \].

Задание 1, (№20 в банке заданий)

Дано два цилиндра. Объем первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра.

ℹ️

Объем цилиндра вычисляется по формуле: где — радиус основания, а — высота цилиндра.
Обозначим радиус и высоту первого цилиндра как и , а объем первого цилиндра равен:
Для второго цилиндра радиус в два раза больше, то есть , а высота в 3 раза меньше, то есть .
Объем второго цилиндра будет:
Заменим на 15: .

Ответ: 20

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Стереометрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: ФИПИ (MATH)
Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2:3. Найдите большее основание трапеции.

Обозначим трапецию за ABCD, MN — средняя линия. BD пересекает MN в точке О. [NEWLINE] [image:0:right] [IMAGENEWLINE] Рассмотрим среднюю линию трапеции. Пусть x - одна часть. Тогда MO=3x, NO=2x. Так как MN - средняя линия трапеции, то MO это средняя линия треугольника ABD. Аналогично, ON - средняя линия треугольника BDC. Откуда следует, что AD равно половине MO. Найдем x: [IMAGENEWLINE] MN=MO+ON=3x+2x=5x; [IMAGENEWLINE] 5x=24 | :5 [IMAGENEWLINE] x=4,8. [[IMAGENEWLINE] Значит MO=14,4 => AD=28,8 Ответ: 28,8

Задание 1, (№157 в банке заданий)

Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2:3. Найдите большее основание трапеции.

ℹ️

Обозначим трапецию за ABCD, MN — средняя линия. BD пересекает MN в точке О.
Рассмотрим среднюю линию трапеции. Пусть x - одна часть. Тогда MO=3x, NO=2x. Так как MN - средняя линия трапеции, то MO это средняя линия треугольника ABD. Аналогично, ON - средняя линия треугольника BDC. Откуда следует, что AD равно половине MO. Найдем x:
MN=MO+ON=3x+2x=5x;
5x=24 | :5
x=4,8. [
Значит MO=14,4 => AD=28,8 Ответ: 28,8

Ответ: 28,8

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: Ященко (MATH)
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем конуса равен 48. Найдите объем цилиндра

[image:0:right]1) Объём конуса вычисляется по формуле: \[ V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 48 \] [IMAGENEWLINE] 2) Объём цилиндра с такими же основанием и высотой: \[ V_{\text{цил}} = \pi r^2 h \] [IMAGENEWLINE] 3) Так как у них одинаковые основание и высота, то \[ V_{\text{цил}} = 3 \times V_{\text{кон}} 3 \times 48 = 144 \]

Задание 1, (№158 в банке заданий)

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем конуса равен 48. Найдите объем цилиндра

ℹ️

1) Объём конуса вычисляется по формуле:
2) Объём цилиндра с такими же основанием и высотой:
3) Так как у них одинаковые основание и высота, то

Ответ: 144

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: Ященко (MATH)
Площадь параллелограмма равна 180, две его стороны равны 60 и 80. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма

[image:0:right] Обозначим: ABCD - параллелограмм, BH и BN - высоты. Пусть меньшая сторона это CD, тогда бОльшая это AD. [IMAGENEWLINE] 1) Площадь параллелограмма: \[ S = a \cdot h_a \] где \( h_a \) — высота, проведённая к стороне \( a \). [IMAGENEWLINE] Так как AD - бОльшая сторона, то BH - меньшая высота, так как меньшая высота проводится к большей стороне. Значит пусть \( h_a = BH \). Тогда сторона a = AD. Следовательно: [IMAGENEWLINE] \[ h_a = \frac{S}{AD} = \frac{180}{60} = 3 \]

Задание 1, (№164 в банке заданий)

Площадь параллелограмма равна 180, две его стороны равны 60 и 80. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма

ℹ️

Обозначим: ABCD - параллелограмм, BH и BN - высоты. Пусть меньшая сторона это CD, тогда бОльшая это AD.
1) Площадь параллелограмма: где — высота, проведённая к стороне .
Так как AD - бОльшая сторона, то BH - меньшая высота, так как меньшая высота проводится к большей стороне. Значит пусть . Тогда сторона a = AD. Следовательно:

Ответ: 3

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: Ященко (MATH)
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 73°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

[image:0:right]Угол ABC состоит из двух углов: ∠ABC=∠ABD+∠CBD. Все они вписанные (все точки лежат на окружности). Заметим, что ∠CAD опирается на ту же дугу, что ∠CBD Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны. Значит ∠CAD=∠CBD=55°. [IMAGENEWLINE] Отсюда следует, что ∠ABC=73°+55°=128°

Задание 1, (№169 в банке заданий)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 73°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

ℹ️

Угол ABC состоит из двух углов: ∠ABC=∠ABD+∠CBD. Все они вписанные (все точки лежат на окружности). Заметим, что ∠CAD опирается на ту же дугу, что ∠CBD Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны. Значит ∠CAD=∠CBD=55°.
Отсюда следует, что ∠ABC=73°+55°=128°

Ответ: 128

Тема: Геометрия (MATH)

Подтема: Планиметрия (MATH)

Задание: Задание 1

Источник: Ященко (MATH)