Версия для печати

Настройте параметры PDF:

1. Задание 1.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, BC = \sqrt{19} . Найдите cosA. Изображение к заданию
Решение: Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны AC : AB^2 = AC^2 + BC^2
Подставим известные значения: 10^2 = AC^2 + (\sqrt{19})^2
100 = AC^2 + 19
AC^2 = 81
AC = 9
Напоминаю, что \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} , то есть \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{10} .
Ответ: 0,9

2. Задание 1.

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 41°. Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение:
Solution image 0
\angle ACB - вписанный, значит дуга, на которую он опирается, в два раза больше. ◡AB=2\cdot41^{\circ}=82^{\circ} .
Так как DB - диаметр окружности, то ◡DAB=180^{\circ} . \angle AOD - центральный, значит равен дуге AD. Тогда ◡DA=180^{\circ}-82^{\circ}=98^{\circ} . Значит искомый \angle AOD=98^{\circ} .
Ответ: 98

3. Задание 1.

Найдите величину угла ACO, если его сторона CA касается окружности с центром O, отрезок CO пересекает окружность в точке B, а дуга AB окружности, заключённая внутри этого угла, равна 66°. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение: Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной. Значит \triangle AOC - прямоугольный. \angle AOB равен дуге AB , на которую опирается (По свойству центрального угла): \angle AOB = 66^\circ
Тогда \angle ACO = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ
Ответ: 24

4. Задание 1.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение:
Solution image 0
\angle ABC - вписанный, значит ◡ADC=103^{\circ}\cdot2=206^{\circ}.
Аналогично, ◡DC=103^{\circ}\cdot2=84^{\circ}.
Искомый угол \angle ABD вписанный и опирается на ◡AD . Значит ее и нужно нам найти.
◡AD=◡ADC-◡DC=206^{\circ}-84^{\circ}=122^{\circ}
\angle ABD=\frac{1}{2}◡AD=\frac{1}{2}\cdot122^{\circ}=61^{\circ}.
Ответ: 61

5. Задание 1.

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, AC = \sqrt{91} . Найдите sinA. Изображение к заданию
Решение: Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны BC : AB^2 = AC^2 + BC^2
10^2 = (\sqrt{91})^2 + BC^2
100 = 91 + BC^2
BC^2 = 9
BC = 3
Теперь найдём \sin A . Напоминаю, что \sin A = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} , то есть
\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{10}
Ответ: 0,3

6. Задание 1.

В треугольнике ABC сторона AB = 3√2, угол C = 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности. Изображение к заданию
Решение: Используем формулу для радиуса описанной окружности треугольника: R = \frac{a}{2 \sin A} где a — длина стороны, а A — \angle напротив этой стороны. В данном случае a = AB = 3\sqrt{2} , и \angle C = 135^\circ , следовательно, \angle A = 135^\circ . Таким образом, радиус R равен:
R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \sin 135^\circ}
Поскольку \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} (синусы смежных углов равны), подставим это значение в формулу:
R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3
Ответ: 3

7. Задание 1.

Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 59° и 102°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение:
Solution image 0
Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна 180^\circ . Обозначим углы четырёхугольника как \angle A , \angle B , \angle C и \angle D . Пусть даны углы \angle A = 59^\circ и \angle B = 102^\circ . Найдём углы \angle C и \angle D :
\angle A + \angle C = 180^\circ
59^\circ + \angle C = 180^\circ
\angle C = 121^\circ - понятно, что это больший угол, но для учебной практики найдем последний:
\angle B + \angle D = 180^\circ
102^\circ + \angle D = 180^\circ
\angle D = 78^\circ
Ответ: 121

8. Задание 1.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120°, угол ABD равен 43°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение:
Solution image 0
\angle ABC - вписанный угол, значит ◡ADC=2\cdot120^{\circ}=240^{\circ}
Аналогично, ◡AD=86^{\circ}
Так же, \angle CAD - тоже вписанный, а значит \angle CAD=\frac{1}{2}◡CD . Значит эту дугу нам и нужно найти.
◡CD=◡ADC-◡AD=240^{\circ}-86^{\circ}=154^{\circ}
Тогда \angle CAD=\frac{1}{2}\cdot 154^{\circ}=77^{\circ}
Ответ: 77

9. Задание 1.

Площадь параллелограмма ABCD равна 28. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE. Изображение к заданию
Решение:
Solution image 0
Проведем отрезок TE||AB (см. рис.):
Параллелограм поделился пополам (как и его площадь). Обратим внимание на то, что BE делит ровно пополам параллелограм BTEA.
Тогда S_{BCDE}=S_{TCDE}+S_{BTE}
S_{TCDE}=\frac{1}{2}S_{ABCD} , S_{BTE}=\frac{1}{4}S_{ABCD}

Тогда S_{BCDE}=\frac{3}{4}S_{ABCD}=\frac{3}{4}\cdot28=21.
Ответ: 21

10. Задание 1.

Две стороны треугольника равны 15 и 18. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон. Изображение к заданию
Решение: Обозначим основание, на которое опущена высота, за b , а саму высоту за h . По формуле площади треугольника: S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота.
Подставляем данные для стороны 18 и высоты 10 : S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 10 = 90.
Теперь выразим высоту h , опущенную на сторону 15 , используя ту же формулу площади:
90 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h.
h = \frac{2 \cdot 90}{15} = \frac{180}{15} = 12.
Ответ: 12

11. Задание 1.

В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 107°. Найдите угол C. Изображение к заданию
Решение: Так как AC = BC , треугольник ABC равнобедренный, и его углы при основании A и B равны. Внешний угол при вершине B равен 107^\circ , а внутренний угол при вершине B вычисляется как: \angle ABC = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ.
Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: \angle A = \angle B = 73^\circ.
Используем сумму углов треугольника: \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.
Подставляем известные значения: 73^\circ + 73^\circ + \angle C = 180^\circ.
\angle C = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ.
Ответ: 34

12. Задание 1.

В четырехугольник ABCD вписана окружность. Известно, что AB = 10, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника ABCD. Изображение к заданию
Решение: Так как в вписанном четырехугольнике суммы его противоположных сторон равны, получаем: AB + CD = AD + BC
Подставляем значения: 10 + 17 = AD + BC
Следовательно, периметр четырехугольника: P = 2(CD + AD) = 2(10 + 17) = 54
Ответ: 54

13. Задание 1.

Площадь треугольника ABC равна 24. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED. Изображение к заданию
Решение: Используем свойство средней линии в треугольнике. Так как DE — это средняя линия, она делит треугольник ABC на два меньших треугольника, один из которых является треугольником CDE . Площадь треугольника CDE будет в 4 раза меньше площади треугольника ABC , так как длины сторон треугольника CDE в 2 раза меньше. Площадь треугольника CDE можно вычислить следующим образом:
S_{CDE} = \frac{1}{4} \times S_{ABC} = \frac{1}{4} \times 24 = 6.
Теперь вычислим площадь трапеции ABED : S_{ABED} = S_{ABC} - S_{CDE} = 24 - 6 = 18.
Ответ: 18

14. Задание 1.

В прямоугольном треугольнике ABC угол B = 21°. Необходимо найти величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C. Изображение к заданию
Решение:
Solution image 0
\angle DCM - искомый угол. Так как сумма углов в треугольнике равна 180^\circ : \angle A = 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ.
Медиана CM делит \triangle ABC на два равнобедренных треугольника \triangle AMC и \triangle BMC , так как медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит:
\angle ACD=45^{\circ} , так как CD - биссектриса.
\angle ACM=\angle ACD + \angle DCM
\angle DCM=\angle ACM-\angle ACD
\angle DCM=69^{\circ}-45^{\circ}=24^{\circ}.
Ответ: 24

15. Задание 1.

Найдите центральный угол, если он на 28° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Изображение к заданию
Решение:
Solution image 0
Обозначим вписанный угол через x . Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного, значит центральный угол 2x . По условию задачи центральный угол на 28^\circ больше вписанного:
2x = x + 28^\circ.
2x - x = 28^\circ,
x = 28^\circ.
Теперь найдём центральный угол: 2x = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ.
Ответ: 56

16. Задание 1.

Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2:3. Найдите большее основание трапеции. Изображение к заданию
Решение: Обозначим трапецию за ABCD, MN — средняя линия. BD пересекает MN в точке О.
Solution image 0

Рассмотрим среднюю линию трапеции. Пусть x - одна часть. Тогда MO=3x, NO=2x. Так как MN - средняя линия трапеции, то MO это средняя линия треугольника ABD. Аналогично, ON - средняя линия треугольника BDC. Откуда следует, что AD равно половине MO. Найдем x:
MN=MO+ON=3x+2x=5x;
5x=24 | :5
x=4,8.
Значит MO=14,4 =\gt AD=28,8
Ответ: 28,8

17. Задание 1.

Площадь параллелограмма равна 180, две его стороны равны 60 и 80. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма Изображение к заданию
Решение:
Solution image 0
Обозначим: ABCD - параллелограмм, BH и BN - высоты. Пусть меньшая сторона это CD, тогда бОльшая это AD.
1) Площадь параллелограмма: S = a \cdot h_a где h_a — высота, проведённая к стороне a .
Так как AD - бОльшая сторона, то BH - меньшая высота, так как меньшая высота проводится к большей стороне. Значит пусть h_a = BH . Тогда сторона a = AD. Следовательно:
h_a = \frac{S}{AD} = \frac{180}{60} = 3
Ответ: 3

18. Задание 1.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 73°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение:
Solution image 0
Угол ABC состоит из двух углов: ∠ABC=∠ABD+∠CBD. Все они вписанные (все точки лежат на окружности). Заметим, что ∠CAD опирается на ту же дугу, что ∠CBD Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны. Значит ∠CAD=∠CBD=55°.
Отсюда следует, что ∠ABC=73°+55°=128°
Ответ: 128

19. Задание 1.

Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 86°. Найдите наименьший из внутренних углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение: Обозначим треугольник и нанесем известные величины на рисунок.
Solution image 0
Внешний угол CBD = 86°. Есть два пути: 1) свойство внешнего угла треугольника; 2) Свойство смежных углов.
1) Внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. То есть сумма двух других углов равнобедренного треугольника равна 86°. Значит каждый из них равен по 86°/2=43°. Это и есть ответ.
2) Сумма внешних углов равна 180°. Значит ∠CBD+∠ABC=180°. Откуда ∠ABC=94°
Сумма углов треугольника равна 180° и плюс оставшиеся два угла равны. Значит \frac{180°-94°}{2} =43°
Ответ: 43

20. Задание 1.

В треугольнике ABC известно, что CD - биссектриса, ∠B=63°, ∠ACD=33°. Найдите ∠ADC. Ответ дайте в градусах. Изображение к заданию
Решение: Нанесем дано на рисунок.
Solution image 0
Так как CD - биссектриса, то ∠ACD=∠BCD=33°. ∠B=63° (по условию). Искомый угол ADC - внешний угол треугольника CBD. Значит, по свойству, внешнего угла треугольника (внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним): 180°-33°-63°=96°
Ответ: 96