Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: $T(t) = T_0 + bt + at^2 $, где t- время в минутах, T₀ = 1400К, a = - 10К/мин${}^2$, b = 200 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1760К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Решим неравенство:[NEWLINE]
\[
T(t) \leq 1760
\][NEWLINE]
\[
1400 + 200t - 10t^2 \leq 1760
\][NEWLINE]
Переносим всё влево:[NEWLINE]
\[
-10t^2 + 200t - 360 \leq 0
\][NEWLINE]
Разделим на -10 (знак неравенства меняется):[NEWLINE]
\[
t^2 - 20t + 36 \geq 0
\][NEWLINE]
Найдём корни квадратного уравнения:[NEWLINE]
\[
D = 400 - 144 = 256,\quad \sqrt{D} = 16
\][NEWLINE]
\[
t = \frac{20 \pm 16}{2} \Rightarrow t_1 = 2,\quad t_2 = 18
\][NEWLINE]
Парабола направлена вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \leq 2$ или $t \geq 18$. Но температура сначала растёт, достигает максимума, затем падает. Нас интересует первый промежуток, когда температура ещё не превысила 1760 К. То есть для функции существуют ограничения по области определений и области значений (Максимальное значение функции 1760 К, а максимальное значение аргумента $t=2$).[NEWLINE]
Значит, максимальное допустимое время — это первый момент, когда T = 1760 К, то есть t = 2.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Значит, отключить нужно не позже 2 минут.
Задание 9, №113 (В банке заданий)
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: , где t- время в минутах, T₀ = 1400К, a = - 10К/мин, b = 200 К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1760К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Решение:
Решим неравенство:
Переносим всё влево:
Разделим на -10 (знак неравенства меняется):
Найдём корни квадратного уравнения:
Парабола направлена вверх, поэтому неравенство выполняется при или . Но температура сначала растёт, достигает максимума, затем падает. Нас интересует первый промежуток, когда температура ещё не превысила 1760 К. То есть для функции существуют ограничения по области определений и области значений (Максимальное значение функции 1760 К, а максимальное значение аргумента ).
Значит, максимальное допустимое время — это первый момент, когда T = 1760 К, то есть t = 2.
Значит, отключить нужно не позже 2 минут.
Ответ: 2
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день