а) Решите уравнение:
\[ \frac{4 \sin^3 x - 2 \sin x}{\sin (2x - \pi)} = 1 \] [NEWLINE]
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-3\pi; -\frac{\pi}{2}]\).
1. ОДЗ: [NEWLINE]
\[ \sin (2x - \pi) \neq 0 \] [NEWLINE]
\[ 2x - \pi \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] [NEWLINE]
\[ x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \] [NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
2. Преобразуем числитель:
\[ 4 \sin^3 x - 2 \sin x = 2 \sin x (2 \sin^2 x - 1) \] [NEWLINE]
Используем основное тригонометрическое тождество:
\[ 2 \sin^2 x - 1 = -\cos 2x \] [NEWLINE]
Получаем:
\[ 2 \sin x (-\cos 2x) = -2 \sin x \cos 2x \][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
3. Преобразуем знаменатель:
\[ \sin (2x - \pi) = -\sin (2x) \] (используя формулы приведения). Если непонятно, почему так, то можете преобразовать следующим образом: [NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
\[ \sin ( - \pi + 2x) \], где \[ (- \pi + 2x) \] это III четверть, что означает отрицательный синус. Следовательно, \[ \sin ( - \pi + 2x) = -\sin (2x) \] [NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
4. Уравнение принимает вид: [NEWLINE]
\[ \frac{-2 \sin x \cos 2x}{-\sin 2x} = 1 \] [NEWLINE]
\[ \frac{2 \sin x \cos 2x}{\sin 2x} = 1 \] [NEWLINE]
Используем формулу двойного угла для знаменателя:
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \]
Подставляем: [NEWLINE]
\[ \frac{2 \sin x \cos 2x}{2 \sin x \cos x} = 1 \] [NEWLINE]
\[ \frac{\cos 2x}{\cos x} = 1 \] [NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
5. Решаем уравнение: [NEWLINE]
\[ \cos 2x = \cos x \] [NEWLINE]
Используем формулу двойного угла:
\[ 2 \cos^2 x - 1 = \cos x \] [NEWLINE]
\[ 2 \cos^2 x - \cos x - 1 = 0 \] [NEWLINE]
Делаем замену \( t = \cos x \): [NEWLINE]
\[ 2t^2 - t - 1 = 0 \] [NEWLINE]
\[ D = 1 + 8 = 9 \] [NEWLINE]
\[ t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \] [NEWLINE]
\[ t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \] [NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
6. Находим решения: [TWO-COLUMNS] 1) \( \cos x = 1 \): [CNEWLINE] \[ x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] [CNEWLINE] Проверяем ОДЗ: [CNEWLINE] \[ x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2} \]. [CNEWLINE] Не подходит. [COLUMN-BREAK] 2) \( \cos x = -\frac{1}{2} \): [CNEWLINE] \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] [CNEWLINE] Проверяем ОДЗ: [CNEWLINE] \[ \frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2} \] [CNEWLINE] \[ -\frac{2\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi n}{2} \]. [CNEWLINE] Подходит. [/TWO-COLUMNS][NEWLINE]
[image:0:left] б) Проведем отбор корней с помощью тригонометрической окружности
[NEWLINE]
Ограничения нанесены на рисунок красным маркером. Все корни получаются движением от точек пересечения координатной плоскости и окружности:[IMAGENEWLINE]
$x_1=-\pi+\frac{\pi}{3}=$$-\frac{2\pi}{3};$[IMAGENEWLINE]
$x_2=-3\pi+\frac{\pi}{3}=$$-\frac{8\pi}{3};$[IMAGENEWLINE]
$x_3=-\pi+\frac{\pi}{3}=$$-\frac{4\pi}{3};$[NEWLINE]
[BOLD]Ответ: [/BOLD] а)\( x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \). [NEWLINE]
б) $x_1=-\frac{2\pi}{3};$$x_2=\frac{-8\pi}{3};$$x_3=-\frac{4\pi}{3}$
Задание 13, №155 (В банке заданий)
а) Решите уравнение:
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение:
1. ОДЗ:
2. Преобразуем числитель:
Используем основное тригонометрическое тождество:
Получаем:
3. Преобразуем знаменатель: (используя формулы приведения). Если непонятно, почему так, то можете преобразовать следующим образом:
, где это III четверть, что означает отрицательный синус. Следовательно,
4. Уравнение принимает вид:
Используем формулу двойного угла для знаменателя: Подставляем:
5. Решаем уравнение:
Используем формулу двойного угла:
Делаем замену :
6. Находим решения:
Ограничения нанесены на рисунок красным маркером. Все корни получаются движением от точек пересечения координатной плоскости и окружности:
Ответ: а), где .
б)
2. Преобразуем числитель:
Используем основное тригонометрическое тождество:
Получаем:
3. Преобразуем знаменатель: (используя формулы приведения). Если непонятно, почему так, то можете преобразовать следующим образом:
, где это III четверть, что означает отрицательный синус. Следовательно,
4. Уравнение принимает вид:
Используем формулу двойного угла для знаменателя: Подставляем:
5. Решаем уравнение:
Используем формулу двойного угла:
Делаем замену :
6. Находим решения:
1) :
Проверяем ОДЗ:
.
Не подходит.
2) :
Проверяем ОДЗ:
.
Подходит.
б) Проведем отбор корней с помощью тригонометрической окружности
Ограничения нанесены на рисунок красным маркером. Все корни получаются движением от точек пересечения координатной плоскости и окружности:
Ответ: а), где .
б)
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день