[image:0:right]а) Рассмотрим треугольники $\triangle B_1C_1M$ и $\triangle MCA:$[IMAGENEWLINE] 1) Заметим, что, так как по условию $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, то основания равны и перпендикулярны боковым граням. Откуда следует, что $CA=C_1B_1.$ и $\angle MC_1B_1=MCA=90^\circ.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] 2) $CM=C_1M,$ так как $M$ — середина $CC_1.$[IMAGENEWLINE] Следовательно, $\triangle B_1C_1M=\triangle MCA$ по первому признаку равенства треугольников. Откуда следует, что $MB_1=MA \rightarrow \triangle AMB_1$ — равнобедренный треугольник по определению, [BOLD]что и требовалось доказать.[/BOLD][IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:right]б) $MK$ — высота $\triangle AMB_1.$[IMAGENEWLINE] $S_{\triangle AMB_1}=\frac{1}{2}MK\cdot AB_1 \rightarrow MK=\frac{2S{\triangle AMB_1}}{AB_1}.$ [IMAGENEWLINE] Значит теперь нашей задачей будет нахождение $AB_1.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Пусть $BB_1=x$[IMAGENEWLINE] По теореме Пифагора:[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $AB_1=\sqrt{x^2+16}$[IMAGENEWLINE] $AK=\frac{\sqrt{x^2+16}}{2}$ (по свойству высоты, проведённой к основанию, она совпадает с медианой и биссектрисой)[IMAGENEWLINE] $BB_1=CC_1=x\rightarrow CM=\frac{x}{2}$[IMAGENEWLINE] По теореме Пифагора:[IMAGENEWLINE] $MK=\sqrt{AM^2-AK^2},$ $AM=\sqrt{(\frac{x}{2})^2+16}$[IMAGENEWLINE] $MK=\sqrt{\frac{x^2}{4}+16-\frac{x^2+16}{4}}$[IMAGENEWLINE] $MK=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$[IMAGENEWLINE] $S_{\triangle AMB_1}=18$[IMAGENEWLINE] $18=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt3AB_1 \rightarrow AB_1=\frac{18\sqrt3}{3}=6\sqrt3$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] По теореме Пифагора для $\triangle ABB_1:$[IMAGENEWLINE] $BB_1=\sqrt{(6\sqrt{3})^2-4^2}=\sqrt{92}=2\sqrt{23}.$