Версия для печати
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, BC = . Найдите cosA.
Банк заданий
Выбранные фильтры:
- Заданий на странице: 20
-
Задание 1, (№3 в банке заданий)В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, BC = \(\sqrt{19} \). Найдите cosA.Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны \( AC \): \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)[NEWLINE] Подставим известные значения: \( 10^2 = AC^2 + (\sqrt{19})^2 \) [NEWLINE] \( 100 = AC^2 + 19 \) [NEWLINE] \( AC^2 = 81 \) [NEWLINE] \( AC = 9 \) [NEWLINE] Напоминаю, что \( \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \), то есть \( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{10} \).
-
Задание 1, (№4 в банке заданий)Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 41°. Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах.[image:0:left] \(\angle ACB\) - вписанный, значит дуга, на которую он опирается, в два раза больше. \(◡AB=2\cdot41^{\circ}=82^{\circ}\). [IMAGENEWLINE] Так как DB - диаметр окружности, то \(◡DAB=180^{\circ}\). \(\angle AOD\) - центральный, значит равен дуге AD. Тогда \(◡DA=180^{\circ}-82^{\circ}=98^{\circ}\). Значит искомый \(\angle AOD=98^{\circ}\).Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 41°. Найдите величину угла AOD. Ответ дайте в градусах.
-
Задание 1, (№5 в банке заданий)Найдите величину угла ACO, если его сторона CA касается окружности с центром O, отрезок CO пересекает окружность в точке B, а дуга AB окружности, заключённая внутри этого угла, равна 66°. Ответ дайте в градусах.Радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной. Значит \( \triangle AOC \) - прямоугольный. \( \angle AOB \) равен дуге \( AB \), на которую опирается (По свойству центрального угла): \( \angle AOB = 66^\circ \) [NEWLINE] Тогда \( \angle ACO = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ \)Найдите величину угла ACO, если его сторона CA касается окружности с центром O, отрезок CO пересекает окружность в точке B, а дуга AB окружности, заключённая внутри этого угла, равна 66°. Ответ дайте в градусах.
-
Задание 1, (№6 в банке заданий)Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.[image:0:left] \(\angle ABC\) - вписанный, значит \(◡ADC=103^{\circ}\cdot2=206^{\circ}.\)[IMAGENEWLINE] Аналогично, \(◡DC=103^{\circ}\cdot2=84^{\circ}.\)[IMAGENEWLINE] Искомый угол \(\angle ABD\) вписанный и опирается на \(◡AD\). Значит ее и нужно нам найти.[IMAGENEWLINE] \(◡AD=◡ADC-◡DC=206^{\circ}-84^{\circ}=122^{\circ}\)[IMAGENEWLINE] \(\angle ABD=\frac{1}{2}◡AD=\frac{1}{2}\cdot122^{\circ}=61^{\circ}.\)[IMAGENEWLINE]Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
-
Задание 1, (№7 в банке заданий)В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, AC = \(\sqrt{91}\). Найдите sinA.Используем теорему Пифагора для нахождения длины стороны \( BC \): \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \) [NEWLINE] \( 10^2 = (\sqrt{91})^2 + BC^2 \) [NEWLINE] \( 100 = 91 + BC^2 \) [NEWLINE] \( BC^2 = 9 \) [NEWLINE] \( BC = 3 \) [NEWLINE] Теперь найдём \( \sin A \). Напоминаю, что \( \sin A = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} \), то есть [NEWLINE] \( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{10} \)В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 10, AC = . Найдите sinA.
-
Задание 1, (№8 в банке заданий)В треугольнике ABC сторона AB = 3√2, угол C = 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.Используем формулу для радиуса описанной окружности треугольника: \( R = \frac{a}{2 \sin A} \) где \( a \) — длина стороны, а \( A \) — \( \angle \) напротив этой стороны. В данном случае \( a = AB = 3\sqrt{2} \), и \( \angle C = 135^\circ \), следовательно, \( \angle A = 135^\circ \). Таким образом, радиус \( R \) равен: [NEWLINE] \( R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \sin 135^\circ} \) [NEWLINE] Поскольку \( \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)(синусы смежных углов равны), подставим это значение в формулу: [NEWLINE] \( R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \)В треугольнике ABC сторона AB = 3√2, угол C = 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
-
Задание 1, (№9 в банке заданий)Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 59° и 102°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.[image:0:left] Вписанный четырёхугольник обладает свойством: сумма противоположных углов равна \(180^\circ\). Обозначим углы четырёхугольника как \(\angle A\), \(\angle B\), \(\angle C\) и \(\angle D\). Пусть даны углы \(\angle A = 59^\circ\) и \(\angle B = 102^\circ\). Найдём углы \(\angle C\) и \(\angle D\): [IMAGENEWLINE] \( \angle A + \angle C = 180^\circ \) [IMAGENEWLINE] \( 59^\circ + \angle C = 180^\circ \) [IMAGENEWLINE] \( \angle C = 121^\circ \) - понятно, что это больший угол, но для учебной практики найдем последний: [IMAGENEWLINE] \( \angle B + \angle D = 180^\circ \) [IMAGENEWLINE] \( 102^\circ + \angle D = 180^\circ \) [IMAGENEWLINE] \( \angle D = 78^\circ \)Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны 59° и 102°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
-
Задание 1, (№10 в банке заданий)Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120°, угол ABD равен 43°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.[image:0:left] \(\angle ABC\) - вписанный угол, значит \(◡ADC=2\cdot120^{\circ}=240^{\circ}\)[IMAGENEWLINE] Аналогично, \(◡AD=86^{\circ}\)[IMAGENEWLINE] Так же, \(\angle CAD\) - тоже вписанный, а значит \(\angle CAD=\frac{1}{2}◡CD\). Значит эту дугу нам и нужно найти.[IMAGENEWLINE] \(◡CD=◡ADC-◡AD=240^{\circ}-86^{\circ}=154^{\circ}\)[IMAGENEWLINE] Тогда \(\angle CAD=\frac{1}{2}\cdot 154^{\circ}=77^{\circ}\)[IMAGENEWLINE]Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120°, угол ABD равен 43°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
-
Задание 1, (№11 в банке заданий)Площадь параллелограмма ABCD равна 28. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.[image:0:left]Проведем отрезок $TE||AB$ (см. рис.):[IMAGENEWLINE] Параллелограм поделился пополам (как и его площадь). Обратим внимание на то, что $BE$ делит ровно пополам параллелограм $BTEA.$[IMAGENEWLINE] Тогда $S_{BCDE}=S_{TCDE}+S_{BTE}$[IMAGENEWLINE] $S_{TCDE}=\frac{1}{2}S_{ABCD}$, $S_{BTE}=\frac{1}{4}S_{ABCD}$ [IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] Тогда $S_{BCDE}=\frac{3}{4}S_{ABCD}=\frac{3}{4}\cdot28=21.$[IMAGENEWLINE]Площадь параллелограмма ABCD равна 28. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.
-
Задание 1, (№12 в банке заданий)Две стороны треугольника равны 15 и 18. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон.Обозначим основание, на которое опущена высота, за \( b \), а саму высоту за \( h \). По формуле площади треугольника: \( S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота. \) [NEWLINE] Подставляем данные для стороны \( 18 \) и высоты \( 10 \): \( S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 10 = 90. \) [NEWLINE] Теперь выразим высоту \( h \), опущенную на сторону \( 15 \), используя ту же формулу площади: [NEWLINE] \( 90 = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot h. \) [NEWLINE] \( h = \frac{2 \cdot 90}{15} = \frac{180}{15} = 12. \)Две стороны треугольника равны 15 и 18. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 10. Найдите длину высоты, опущенной на меньшую из этих сторон.
-
Задание 1, (№13 в банке заданий)В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 107°. Найдите угол C.Так как \( AC = BC \), треугольник \( ABC \) равнобедренный, и его углы при основании \( A \) и \( B \) равны. Внешний угол при вершине \( B \) равен \( 107^\circ \), а внутренний угол при вершине \( B \) вычисляется как: \( \angle ABC = 180^\circ - 107^\circ = 73^\circ. \) [NEWLINE] Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны: \( \angle A = \angle B = 73^\circ. \) [NEWLINE] Используем сумму углов треугольника: \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ. \) [NEWLINE] Подставляем известные значения: \(73^\circ + 73^\circ + \angle C = 180^\circ. \) [NEWLINE] \(\angle C = 180^\circ - 146^\circ = 34^\circ. \)В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 107°. Найдите угол C.
-
Задание 1, (№14 в банке заданий)В четырехугольник ABCD вписана окружность. Известно, что AB = 10, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника ABCD.Так как в вписанном четырехугольнике суммы его противоположных сторон равны, получаем: \( AB + CD = AD + BC \) [NEWLINE] Подставляем значения: \( 10 + 17 = AD + BC \) [NEWLINE] Следовательно, периметр четырехугольника: \( P = 2(CD + AD) = 2(10 + 17) = 54 \)В четырехугольник ABCD вписана окружность. Известно, что AB = 10, CD = 17. Найдите периметр четырехугольника ABCD.
-
Задание 1, (№15 в банке заданий)Площадь треугольника ABC равна 24. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.Используем свойство средней линии в треугольнике. Так как \( DE \) — это средняя линия, она делит треугольник \( ABC \) на два меньших треугольника, один из которых является треугольником \( CDE \). Площадь треугольника \( CDE \) будет в 4 раза меньше площади треугольника \( ABC \), так как длины сторон треугольника \( CDE \) в 2 раза меньше. Площадь треугольника \( CDE \) можно вычислить следующим образом: [NEWLINE] \(S_{CDE} = \frac{1}{4} \times S_{ABC} = \frac{1}{4} \times 24 = 6. \) [NEWLINE] Теперь вычислим площадь трапеции \( ABED \): \( S_{ABED} = S_{ABC} - S_{CDE} = 24 - 6 = 18. \)Площадь треугольника ABC равна 24. Средняя линия DE параллельна стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED.
-
Задание 1, (№16 в банке заданий)В прямоугольном треугольнике ABC угол B = 21°. Необходимо найти величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C.[image:0:left]\(\angle DCM\) - искомый угол. Так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \): \( \angle A = 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ. \)[IMAGENEWLINE] Медиана \( CM \) делит \( \triangle ABC \) на два равнобедренных треугольника \( \triangle AMC \) и \( \triangle BMC \), так как медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит:[IMAGENEWLINE] \(\angle ACD=45^{\circ}\), так как \(CD\) - биссектриса.[IMAGENEWLINE] \(\angle ACM=\angle ACD + \angle DCM\)[IMAGENEWLINE] \(\angle DCM=\angle ACM-\angle ACD\)[IMAGENEWLINE] \(\angle DCM=69^{\circ}-45^{\circ}=24^{\circ}.\)В прямоугольном треугольнике ABC угол B = 21°. Необходимо найти величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C.
-
Задание 1, (№17 в банке заданий)Найдите центральный угол, если он на 28° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.[image:0:left]Обозначим вписанный угол через \( x \). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, в два раза больше вписанного, значит центральный угол \(2x\). По условию задачи центральный угол на \( 28^\circ \) больше вписанного: [IMAGENEWLINE] \( 2x = x + 28^\circ. \) [IMAGENEWLINE] \( 2x - x = 28^\circ, \) [IMAGENEWLINE] \( x = 28^\circ. \)[IMAGENEWLINE] Теперь найдём центральный угол: \( 2x = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ. \)Найдите центральный угол, если он на 28° больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
-
Задание 1, (№157 в банке заданий)Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2:3. Найдите большее основание трапеции.Обозначим трапецию за ABCD, MN — средняя линия. BD пересекает MN в точке О. [NEWLINE] [image:0:right] [IMAGENEWLINE] Рассмотрим среднюю линию трапеции. Пусть x - одна часть. Тогда MO=3x, NO=2x. Так как MN - средняя линия трапеции, то MO это средняя линия треугольника ABD. Аналогично, ON - средняя линия треугольника BDC. Откуда следует, что AD равно половине MO. Найдем x: [IMAGENEWLINE] \(MN=MO+ON=3x+2x=5x;\) [IMAGENEWLINE] \(5x=24 | :5\) [IMAGENEWLINE] \(x=4,8.\) [IMAGENEWLINE] Значит \(MO=14,4 => AD=28,8\)Средняя линия трапеции равна 24. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении 2:3. Найдите большее основание трапеции.
-
Задание 1, (№164 в банке заданий)Площадь параллелограмма равна 180, две его стороны равны 60 и 80. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма[image:0:right] Обозначим: ABCD - параллелограмм, BH и BN - высоты. Пусть меньшая сторона это CD, тогда бОльшая это AD. [IMAGENEWLINE] 1) Площадь параллелограмма: \[ S = a \cdot h_a \] где \( h_a \) — высота, проведённая к стороне \( a \). [IMAGENEWLINE] Так как AD - бОльшая сторона, то BH - меньшая высота, так как меньшая высота проводится к большей стороне. Значит пусть \( h_a = BH \). Тогда сторона a = AD. Следовательно: [IMAGENEWLINE] \[ h_a = \frac{S}{AD} = \frac{180}{60} = 3 \]Площадь параллелограмма равна 180, две его стороны равны 60 и 80. Найдите меньшую высоту этого параллелограмма
-
Задание 1, (№169 в банке заданий)Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 73°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.[image:0:right]Угол ABC состоит из двух углов: ∠ABC=∠ABD+∠CBD. Все они вписанные (все точки лежат на окружности). Заметим, что ∠CAD опирается на ту же дугу, что ∠CBD Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу равны. Значит ∠CAD=∠CBD=55°. [IMAGENEWLINE] Отсюда следует, что ∠ABC=73°+55°=128°Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 73°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
-
Задание 1, (№172 в банке заданий)Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 86°. Найдите наименьший из внутренних углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.Обозначим треугольник и нанесем известные величины на рисунок. [image:0:right] Внешний угол CBD = 86°. Есть два пути: 1) свойство внешнего угла треугольника; 2) Свойство смежных углов. [IMAGENEWLINE] 1) Внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним. То есть сумма двух других углов равнобедренного треугольника равна 86°. Значит каждый из них равен по 86°/2=43°. Это и есть ответ. [IMAGENEWLINE] 2) Сумма внешних углов равна 180°. Значит ∠CBD+∠ABC=180°. Откуда ∠ABC=94°[IMAGENEWLINE] Сумма углов треугольника равна 180° и плюс оставшиеся два угла равны. Значит \(\frac{180°-94°}{2}\)=43°Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 86°. Найдите наименьший из внутренних углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
-
Задание 1, (№173 в банке заданий)В треугольнике ABC известно, что CD - биссектриса, ∠B=63°, ∠ACD=33°. Найдите ∠ADC. Ответ дайте в градусах.Нанесем дано на рисунок. [NEWLINE] [image:0:right] Так как CD - биссектриса, то ∠ACD=∠BCD=33°. ∠B=63° (по условию). Искомый угол ADC - внешний угол треугольника CBD. Значит, по свойству, внешнего угла треугольника (внешний угол равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним): 180°-33°-63°=96°В треугольнике ABC известно, что CD - биссектриса, ∠B=63°, ∠ACD=33°. Найдите ∠ADC. Ответ дайте в градусах.
Страница 1 из 30
Следующая
Последняя »