В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M – середина SD, точка K – середина
SA.[NEWLINE]
а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.[NEWLINE]
б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и
AB = 6.
[image:0:right]а) $AB=CD, SA=SD \Rightarrow AK=DM$ (т.к. $SABCDEF$ — правильная шестиугольная пирамида).[IMAGENEWLINE]
Также, $\angle KAB=\angle MCD.$ Из этого следует, что $\triangle AKB=\triangle MCD.$ Тогда $BK=MC.$ Заметим, что $K$ и $M$ равноудалены от основания.[IMAGENEWLINE]
Рассмотрим $\triangle SAD:$[IMAGENEWLINE]
$AD$ — диагональ правильного шестиугольника такая, что $\frac{1}{2}AD=BC$ (по свойству правильного шестиугольника, он делится диагоналями на 6 равносторонних треугольников).[IMAGENEWLINE]
$KM=\frac{1}{2}AD$ как средняя линия по определению. Следовательно, $KM=BC\Rightarrow BCMK$ — параллелограмм. Значит, $BK$ и $CM$ принадлежат одной плоскости, чтд.[IMAGENEWLINE]
[image:1:right]б) $\angle GHO = 60^\circ$ (по условию). Проведём $SO,$ достроив до $\triangle GHO$ и $\triangle SHO$ — прямоугольных треугольников, где необходимо найти $SO$ — катет прямоугольного треугольника. Из п. а следует, что $\triangle BCO$ — равносторонний, тогда $OH=\frac{BC\sqrt3}{2}$, а также из этого пункта следует, что $KM$ — средняя линия, значит $SO=\frac{1}{2}GO.$[IMAGENEWLINE]
$OH=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\Rightarrow $ $tg60^\circ=\frac{GO}{OH}\Rightarrow GO=9 \Rightarrow SO = 18.$
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S точка M – середина SD, точка K – середина
SA.
а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.
б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и AB = 6.
а) Докажите, что прямые BK и CM лежат в одной плоскости α.
б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды равен 60° и AB = 6.
Решение:
а) (т.к. — правильная шестиугольная пирамида).
Также, Из этого следует, что Тогда Заметим, что и равноудалены от основания.
Рассмотрим
— диагональ правильного шестиугольника такая, что (по свойству правильного шестиугольника, он делится диагоналями на 6 равносторонних треугольников).
как средняя линия по определению. Следовательно, — параллелограмм. Значит, и принадлежат одной плоскости, чтд.
Также, Из этого следует, что Тогда Заметим, что и равноудалены от основания.
Рассмотрим
— диагональ правильного шестиугольника такая, что (по свойству правильного шестиугольника, он делится диагоналями на 6 равносторонних треугольников).
как средняя линия по определению. Следовательно, — параллелограмм. Значит, и принадлежат одной плоскости, чтд.
б) (по условию). Проведём достроив до и — прямоугольных треугольников, где необходимо найти — катет прямоугольного треугольника. Из п. а следует, что — равносторонний, тогда , а также из этого пункта следует, что — средняя линия, значит
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день