Генератор вариантов

Хотите сгенерировать свой вариант для лучшей подготовки? Настроить генератор

Сгенерированный вариант

1. [image:0:right]Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 96. Найдите длину её средней линии.

   [image:1:left]Обозначим трапецию как $ABCD,$ а среднюю линия — $MN.$[IMAGENEWLINE] $MN=\frac{BC+AD}{2}.$[IMAGENEWLINE] Так как четырёхугольник вписан в окружность, то [IMAGENEWLINE] $AB+CD=BC+AD\rightarrow$[IMAGENEWLINE] $P=AB+CD+BC+AD=2(AB+CD)$[IMAGENEWLINE] $96=2(AB+CD)|:4$[IMAGENEWLINE] $\frac{BC+AD}{2}=24=MN.$
   Задание 1 ☆
   

   Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 96. Найдите длину её средней линии.
   Ваш ответ:
2. Даны векторы \(\vec{a} (-6; -8)\) и \(\vec{b} (12; 9)\). Найдите косинус угла между ними.

   1) Найдём скалярное произведение векторов:[NEWLINE] \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = (-6) \times 12 + (-8) \times 9 = -72 - 72 = -144 \] [NEWLINE] 2) Вычислим длины векторов: [NEWLINE] \[ |\vec{a}| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \][NEWLINE] \[ |\vec{b}| = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \][NEWLINE] 3) Найдём косинус угла:[NEWLINE] \[ \cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{-144}{10 \times 15} = -\frac{144}{150} = -0.96 \]
   Задание 2 ☆
   Даны векторы и . Найдите косинус угла между ними.
   Ваш ответ:
3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем конуса равен 48. Найдите объем цилиндра

   [image:0:right]1) Объём конуса вычисляется по формуле: \[ V_{\text{кон}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = 48 \] [IMAGENEWLINE] 2) Объём цилиндра с такими же основанием и высотой: \[ V_{\text{цил}} = \pi r^2 h \] [IMAGENEWLINE] 3) Так как у них одинаковые основание и высота, то \[ V_{\text{цил}} = 3 \times V_{\text{кон}} 3 \times 48 = 144 \]
   Задание 3 ☆
   Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объем конуса равен 48. Найдите объем цилиндра

   
   Ваш ответ:
4. В большой партии насосов в среднем на каждые 1992 исправных приходится 8 неисправных насосов. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.

   Всего \(8+1992=2000\) насосов.[NEWLINE] \(P=\frac{8}{2000}=0,004\)
   Задание 4 ☆
   В большой партии насосов в среднем на каждые 1992 исправных приходится 8 неисправных насосов. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.
   Ваш ответ:
5. Биатлонист стреляет по пяти мишеням — в каждую по одному разу. Вероятность попадания в каждую мишень равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.

   Вероятность попадания в каждую мишень независима, значит нам нужно найти произведение вероятностей. [NEWLINE] Пусть \(P(A)=0,7 - \) вероятность "попал". Тогда \(P(B)=1-0,7=0,3 -\) вероятность "промазал". Тогда искомая вероятность будет равна: [NEWLINE] \(P(AAABB)=0,7^3\cdot0,3^2=0,03087≈0,03\)
   Задание 5 ☆
   Биатлонист стреляет по пяти мишеням — в каждую по одному разу. Вероятность попадания в каждую мишень равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые 3 раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
   Ваш ответ:
6. В таблице показано распределение случайной величины $X$. Найдите $EX$ — математическое ожидание этой случайной величины[NEWLINE] \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значения } X & -4 & 0 & 1 & 3 \\ \hline \text{Вероятности} & 0,2 & 0,1 & 0,4 & 0,3 \\ \hline \end{array}

   Формула математического ожидания:[NEWLINE] $E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i$[NEWLINE] [NEWLINE] \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & -4 & 0 & 1 & 3 \\ \hline p_i & 0,2 & 0,1 & 0,4 & 0,3 \\ \hline x_i \cdot p_i & -0,8 & 0 & 0,4 & 0,9 \\ \hline \end{array}[NEWLINE] [NEWLINE] $E[X] = -0,8 + 0 + 0,4 + 0,9 = 0,5$
   Задание 6 ☆
   В таблице показано распределение случайной величины . Найдите — математическое ожидание этой случайной величины
   \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Значения } X & -4 & 0 & 1 & 3 \\ \hline \text{Вероятности} & 0,2 & 0,1 & 0,4 & 0,3 \\ \hline \end{array}
   Ваш ответ:
7. Найдите корень уравнения $\log_2(7 - x) = 6$.

   По определению логарифма:[NEWLINE] $\log_2(7 - x) = 6 \implies 7 - x = 2^6$[NEWLINE] $7 - x = 64$[NEWLINE] $x = 7 - 64 = -57$[NEWLINE]
   Задание 7 ☆
   Найдите корень уравнения .
   Ваш ответ:
8. Найдите значение выражения: \( (\sqrt{96}-\sqrt{24})\cdot\sqrt{6}. \)

   \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b},\) \(ab+cb=b(a+c).\)[NEWLINE] \((\sqrt{6\cdot16}-\sqrt{6\cdot4})\cdot\sqrt{6}=\)\((4\sqrt{6}-2\sqrt{6})\cdot\sqrt6=\)\(\sqrt6(4-2)\cdot\sqrt6=6\cdot2=12.\)
   Задание 8 ☆
   Найдите значение выражения:
   Ваш ответ:
9. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

   [image:0:left]Если функция убывает, то касательная с положительным направлением оси $Ox$ будет составлять тупой угол. Чем ближе этот угол к $\frac{\pi}{2},$ тем быстрее функция убывает (то есть склона как бы "круче"). Точки $2$ и $4$ нам не подходят, так как там функция возрастает. [IMAGENEWLINE] Достроим касательные к точкам, в которых функция убывает (см. рис.)[IMAGENEWLINE] Очевидно, что в точке $x=-1$ функция убывает быстрее, значит производная там самая наименьшая.
   Задание 9 ☆
   На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

   
   Ваш ответ:
10. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h км над землёй до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле: $l=\sqrt{2Rh},$ где R=6400 км — радиус Земли. С какой высоты h горизонт виден на расстоянии 24 км? Ответ выразите в км.

    Выразим $h:$[NEWLINE] $l=\sqrt{2Rh}|^2$[NEWLINE] $l^2=2Rh|:2R$[NEWLINE] $h=\frac{l^2}{2R}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $h=\frac{24^2}{2\cdot6400}=0,045.$
    Задание 10 ☆
    Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h км над землёй до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле: где R=6400 км — радиус Земли. С какой высоты h горизонт виден на расстоянии 24 км? Ответ выразите в км.
    Ваш ответ:
11. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 60 % меди, второй — 10 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 90 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

    1) Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Сплав} & \text{Масса (кг)} & \text{Процент меди} & \text{Масса меди (кг)} \\ \hline \text{Первый} & x & 60 & 0{,}60x \\ \hline \text{Второй} & x + 90 & 10 & 0{,}10(x + 90) \\ \hline \text{Третий} & 2x + 90 & 20 & 0{,}20(2x + 90) \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] 2) Составляем уравнение по массе меди:[NEWLINE] \[ 0{,}60x + 0{,}10(x + 90) = 0{,}20(2x + 90) \][NEWLINE] \[ 0{,}6x + 0{,}1x + 9 = 0{,}4x + 18 \][NEWLINE] \[ 0{,}7x + 9 = 0{,}4x + 18 \][NEWLINE] \[ 0{,}7x - 0{,}4x = 18 - 9 \][NEWLINE] \[ 0{,}3x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{0{,}3} = 30 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Масса третьего сплава: [NEWLINE] \[ 2x + 90 = 2 \cdot 30 + 90 = 60 + 90 = 150 \]
    Задание 11 ☆
    Имеется два сплава. Первый сплав содержит 60 % меди, второй — 10 % меди. Масса второго сплава больше массы первого на 90 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 20 % меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
    Ваш ответ:
12. На рисунке изображён график функции \(f(x)=\frac{k}{x}.\) Найдите f(10).

    Восстановим коэффициент \(k,\) взяв точку \((1;1)\): [NEWLINE] \(1=\frac{k}{1}\rightarrow k=1 \rightarrow f(x)=\frac{1}{x}\)[NEWLINE] Тогда \(f(10)=\frac{1}{10}=0,1.\)
    Задание 12 ☆
    На рисунке изображён график функции Найдите f(10).

    
    Ваш ответ:
13. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму $A$ рублей. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. [NEWLINE] Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?

    Обозначим: [NEWLINE] $A$ — сумма кредита (в рублях), [NEWLINE] $k = 1{,}25 = \dfrac{5}{4}$ — коэффициент увеличения долга (25 %), [NEWLINE] $x$ — ежегодный платёж.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до \%} & \text{Долг после \%} & \text{Выплата} \\ \hline 1 & A & Ak & x \\ \hline 2 & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline 3 & Ak^2 - xk - x & (Ak^2 - xk - x)k & x \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] После третьего платежа долг равен нулю:[NEWLINE] \[ (Ak^2 - xk - x)k - x = 0 \][NEWLINE] \[ Ak^3 - xk^2 - xk - x = 0 \][NEWLINE] \[ Ak^3 = x(k^2 + k + 1) \][NEWLINE] \[ x = \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Общая сумма платежей — $3x$. По условию:[NEWLINE] \[ 3x = A + 104800 \][NEWLINE] Подставим $x$: \[ 3 \cdot \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} = A + 104800 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $k = 1{,}25 = \dfrac{5}{4}$:[NEWLINE] \[ k = \frac{5}{4},\quad k^2 = \frac{25}{16},\quad k^3 = \frac{125}{64} \][NEWLINE] \[ k^2 + k + 1 = \frac{25}{16} + \frac{5}{4} + 1 = \frac{25 + 20 + 16}{16} = \frac{61}{16} \][NEWLINE] \[ 3 \cdot \frac{A \cdot \frac{125}{64}}{\frac{61}{16}} = A + 104800 \][NEWLINE] \[ 3 \cdot A \cdot \frac{125}{64} \cdot \frac{16}{61} = A + 104800 \][NEWLINE] \[ 3 \cdot A \cdot \frac{125}{4 \cdot 61} = A + 104800 \][NEWLINE] \[ \frac{375A}{244} = A + 104800 \][NEWLINE] \[ \frac{375A - 244A}{244} = 104800 \][NEWLINE] \[ \frac{131A}{244} = 104800 \][NEWLINE] \[ 131A = 104800 \cdot 244 \][NEWLINE] \[ 131A = 131 \cdot 800 \cdot 244 \Rightarrow A = 800 \cdot 244 = 195\,200 \][NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 195200
    Задание 13 ☆
    В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму рублей. Условия его возврата таковы:
    — каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
    — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
    Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?
    Ваш ответ:
14. а) Решите уравнение 2-2cos(π+2x)-√8cosx=√6-√12cosx [NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([\frac{\pi}{2};2\pi]\).

    \(cos(\pi+2x)=-cos2x\), так как это третья четверть; \(sin^2x=1-cos^2x\); \(cos2x=cos^2x-sin^2x\).[NEWLINE] \(2+2cos2x-\sqrt8cosx-\sqrt6+\sqrt{12}cosx=0\). Заменяем cos2x [NEWLINE] \(2+2(cos^2x-sin^2x)-\sqrt8cosx-\sqrt6+\sqrt{12}cosx=0\) [NEWLINE] \(2+2(cos^2x-1+cos^2x)-\sqrt8cosx-\sqrt6+\sqrt{12}cosx=0\) [NEWLINE] \(2+2cos^2x-2+2cos^2x-\sqrt8cosx-\sqrt6+\sqrt{12}cosx=0\) [NEWLINE] \(2+2cos^2x-2+2cos^2x-\sqrt8cosx-\sqrt6+\sqrt{12}cosx=0\) [NEWLINE] \(4cos^2x-2\sqrt2cosx-\sqrt3\sqrt2+2\sqrt{3}cosx=0\) [NEWLINE] \(2cosx(2cosx-\sqrt2)+\sqrt3(-\sqrt2+2cosx)=0\) [NEWLINE] \((2cosx+\sqrt3)(2cosx-\sqrt2)=0\) [NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(cosx=-\frac{\sqrt3}2{}\)[NEWLINE]\(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n \in Z\)[COLUMN-BREAK]\(cosx=\frac{\sqrt2}{2}\)[NEWLINE]\(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z\)[/TWO-COLUMNS] б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] \(x_1=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\) [IMAGENEWLINE] \(x_2=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}\) [IMAGENEWLINE] \(x_3=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}\). [IMAGENEWLINE] Ответ: а) \(x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n \in Z\); \(x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,n \in Z\) [IMAGENEWLINE] б) \(x_1=\frac{5\pi}{6}\); \(x_2=\frac{7\pi}{6}\); \(x_3=\frac{7\pi}{4}\)
    Задание 14 ☆
    а) Решите уравнение 2-2cos(π+2x)-√8cosx=√6-√12cosx
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

15. В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость ɑ перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K. [NEWLINE] а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.[NEWLINE] б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью ɑ, если известно, что BK=1, KC=3.

    [image:0:left] а) Рассмотрим \(\triangle ABN:\)[IMAGENEWLINE] По условию, треугольники все равносторонние, так как \(ABCD\) — правильный тетраэдр. \(MN\) делит \(AB\) пополам, а значит это медиана. Значит \(MN\) — высота и биссектриса (по свойству равностороннего треугольника. Следовательно, \(MN\perp AB.\)[IMAGENEWLINE] Теперь рассмотрим \(\triangle MCD:\)[IMAGENEWLINE] Данный треугольник является равнобедренным, так как точки \(C\) и \(D\) равноудалены от \(M,\) а значит \(CM=DM \rightarrow \triangle MCD\) — равнобедренный. \(MN\) — в нем тоже медиана, проведенная к основанию, а значит и высота, и биссектриса. Следовательно, \(MN \perp CD,\) что и требовалось доказать. [IMAGENEWLINE] [image:1:left] б) \(KLPQ\) — искомая плоскость \(\alpha.\) Докажем, что \(KLPQ\) — прямоугольник:[IMAGENEWLINE] Вся плоскость этого четырехугольника перпендикулярна \(MN.\) Прямая называется [BOLD]перпендикулярной к плоскости,[/BOLD] если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. [IMAGENEWLINE] Значит \(MN\perp LP,\) а т.к. ещё и \(MN\perp CD\) (см. п. а), то \(LP||CD.\) Абсолютно аналогично доказывается \(KL|| AB.\) Из этого следует (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой), что \(LP\perp KL \rightarrow KLPQ \) — прямоугольник, чтд.[IMAGENEWLINE] Тогда \(S_{KLPQ}=LP\cdot KL.\) Найдем их:[IMAGENEWLINE] Так как \(ABCD\) — правильный тетраэдр, то все стороны равны, а значит все грани — равносторонние треугольники.[IMAGENEWLINE] Из условия известно, что \(BK=1,\) \(KC=3.\) Тогда все стороны равны по \(4.\) \(KL||AB,\) а значит отсекается тоже равносторонний треугольник \(\rightarrow KL=KC=LC=3,\) а \(AL=BK=1=AP=LP.\) Тогда:[IMAGENEWLINE] \(S_{KLPQ}=3\cdot1=3.\)[IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ: 3.[/BOLD]
    Задание 15 ☆
    В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость ɑ перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
    а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
    б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью ɑ, если известно, что BK=1, KC=3.

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

16. Решите неравенство $\log_5(\frac{2}{x}+2)-\log_5(x+3) \leq \log_5(\frac{x+6}{x^2}).$

    Приведу решение моего ученика:[image:0]
    Задание 16 ☆
    Решите неравенство

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

17. Вода вытекает из отверстия в стенке бака. Высота бака $H = 4$ м. Отверстие расположено на высоте $h$ от земли. Дальность струи воды определяется формулой $L = 2\sqrt{h(H-h)}$. На какой высоте $h$ следует расположить отверстие, чтобы дальность струи была максимальной? Ответ дайте в метрах.

    Нам нужно найти значение $h$, при котором дальность струи $L$ максимальна. Для этого исследуем функцию $L(h)$ на экстремум.[NEWLINE] Подставим известное значение $H = 4$:[NEWLINE] $L(h) = 2\sqrt{h(4-h)} = 2\sqrt{4h - h^2}$[NEWLINE] Так как $L > 0$ (дальность положительна) и коэффициент 2 — константа, максимум $L$ достигается там же, где максимум подкоренного выражения. Это упрощает вычисления.[NEWLINE] Исследуем функцию:[NEWLINE] $f(h) = 4h - h^2$[NEWLINE] Найдём производную $f'(h)$ и приравняем к нулю:[NEWLINE] $f'(h) = 4 - 2h$[NEWLINE] Приравняем к нулю:[NEWLINE] $4 - 2h = 0$[NEWLINE] Решим уравнение:[NEWLINE] $2h = 4$[NEWLINE] $h = 2$ м[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Проверим, что это точка максимума, используя вторую производную:[NEWLINE] $f''(h) = -2$[NEWLINE] Так как $f''(h) = -2 < 0$ для всех $h$, функция $f(h)$ — парабола, ветви которой направлены вниз, и найденная точка является точкой максимума.[NEWLINE] Также проверим, что $h = 2$ попадает в допустимый диапазон: $0 < h < H = 4$. Условие выполнено.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдём максимальную дальность:[NEWLINE] $L_{max} = 2\sqrt{2(4-2)} = 2\sqrt{2 \cdot 2} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$ м[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 2
    Задание 17 ☆
    Вода вытекает из отверстия в стенке бака. Высота бака м. Отверстие расположено на высоте от земли. Дальность струи воды определяется формулой . На какой высоте следует расположить отверстие, чтобы дальность струи была максимальной? Ответ дайте в метрах.

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

18. В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M. [NEWLINE] а) Докажите, что $\angle BAM = \angle CAD$. [NEWLINE] б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = 6, а BC = 4BM.

    [image:0:right]а) $\angle BAM=\frac{1}{2}◡AM$ по свойству угла, заключенному между касательной и хордой.[IMAGENEWLINE] $◡AM=◡CD$ по свойству параллельных хорд (так как $MC$ лежит на $BC||AD$).[IMAGENEWLINE] $\rightarrow AMCD $ — равнобедренная трапеция, $\angle BAM =\frac{1}{2}◡CD,$ где $◡CD=2\angle CAD$ как дуга, на которую опирается вписанный угол.[IMAGENEWLINE] $\rightarrow \angle BAM=\frac{1}{2}\cdot2\cdot\angle CAD=\angle CAD,$ чтд.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] б) Пусть $BM=x \rightarrow BC=4x.$[IMAGENEWLINE] $AB^2=BM\cdot BC$ по свойству касательной и секущей, проведенных из одной точки.[IMAGENEWLINE] $36=x\cdot4x\rightarrow x=3=BM\rightarrow CM=9$[IMAGENEWLINE] $\frac{S_{ABO}}{S_{ABC}}=\frac{AB\cdot AO}{AB\cdot AC}=\frac{AO}{AC}$ как площади треугольников, имеющих равные углы[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] $\triangle AOD \sim \triangle BOC,$ так как $\angle BOC = \angle AOD$ как вертикальные и $\angle BCO = \angle OAD$ как накрест лежащие при $MC||AD$ и $AC$ — секущей.[IMAGENEWLINE] $\frac{BC}{AD}=\frac{BO}{OD}=\frac{CO}{AO}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$[IMAGENEWLINE] Тогда $AC=CO+AO=9$ частей $\rightarrow \frac{AO}{AC}=\frac{4}{9}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $S_{ABO}=S_{ABC}\cdot \frac{AO}{OC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\cdot\frac{AO}{AC}$[IMAGENEWLINE] $S_{ABO}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot12\cdot\frac{5}{9}=20.$ [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 20
    Задание 18 ☆
    В трапеции ABCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании AD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точках C и M.
    а) Докажите, что .
    б) Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника AOB, если AB = 6, а BC = 4BM.

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

19. Найдите все значения \( a \), при каждом из которых уравнение [NEWLINE] \[ a\left(x+\frac{9}{x}\right)^2 + 2\left(x+\frac{9}{x}\right) - 64a + 16 = 0 \] [NEWLINE] имеет ровно два различных корня.

    \( a\left(x+\frac{9}{x}\right)^2 + 2\left(x+\frac{9}{x}\right) - 64a + 16 = 0 \) [NEWLINE] Введём замену \( y = x + \dfrac{9}{x} \) и проанализируем её: [NEWLINE] \( xy = x^2 + 9 \rightarrow x^2 - xy + 9 = 0 \) [NEWLINE] То есть относительно \( x \) заменённое уравнение — квадратичное. Значит оно имеет два корня при \( D > 0 \) и один корень при \( D = 0. \) [NEWLINE] \( D = y^2 - 36 \) [NEWLINE] \( D > 0 \rightarrow y \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \) [NEWLINE] \( D = 0 \rightarrow y = \pm 6 \)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Рассмотрим теперь \( ay^2 + 2y - 64a + 16 = 0 \) [NEWLINE] Данное уравнение может быть [BOLD]линейным[/BOLD] (при \( a = 0 \)) и [BOLD]квадратным[/BOLD] (при \( a \neq 0 \)).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \( I. \) [BOLD]Рассмотрим первую ситуацию:[/BOLD] [NEWLINE] \( 2y + 16 = 0 \rightarrow y = -8 \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \) [NEWLINE] Значит при \( a = 0 \) искомое уравнение имеет ровно 2 различных корня.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \( II. \) [BOLD]Вторая ситуация:[/BOLD] [NEWLINE] Найдём дискриминант \( ay^2 + 2y - 64a + 16 = 0 \): [NEWLINE] \( D = 4 - 4 \cdot a \cdot (-64a + 16) = 256a^2 - 64a + 4 = (16a - 2)^2 \)[NEWLINE] 1) Если \( D = 0 \), то \( y = \dfrac{-b}{2a} \). [NEWLINE] Найдём \( a \) из дискриминанта, равного нулю: [NEWLINE] \( (16a - 2)^2 = 0 \rightarrow a = \dfrac{1}{8} \) [NEWLINE] Тогда \( y = \dfrac{-2}{2 \cdot \dfrac{1}{8}} = -8 \) — подходит.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 2) Если \( D > 0 \). Тогда два значения \( y \), но чтобы общее число корней по \( x \) было ровно 2, необходимо, чтобы ровно одно из значений \( y \) давало допустимые \( x \), а второе — нет (т.е. попадало в интервал \((-6; 6)\)). [NEWLINE] Найдём корни: \( y_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{(16a - 2)^2}}{2a} \) [NEWLINE] \( y_1 = \dfrac{-2 + 16a - 2}{2a} = \dfrac{16a - 4}{2a} = \dfrac{8a - 2}{a} \) [NEWLINE] \( y_2 = \dfrac{-2 - 16a + 2}{2a} = \dfrac{-16a}{2a} = -8 \)[NEWLINE] Итак, \( y_2 = -8 \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \) — всегда даёт два различных корня. [NEWLINE] Значит, чтобы общее число корней было ровно 2, необходимо, чтобы \( y_1 \notin (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \), то есть \[ y_1 \in (-6; 6) \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Решим систему: [NEWLINE] \(\begin{cases} \dfrac{8a - 2}{a} \gt -6 \\ \dfrac{8a - 2}{a} \lt 6 \end{cases}\) [NEWLINE] Преобразуем: [NEWLINE] \(\begin{cases} \dfrac{8a - 2 + 6a}{a} \gt 0 \\ \dfrac{8a - 2 - 6a}{a} \lt 0 \end{cases}\) → \(\begin{cases} \dfrac{14a - 2}{a} \gt 0 \\ \dfrac{2a - 2}{a} \lt 0 \end{cases}\) [NEWLINE] Решим первое: [NEWLINE] \( \dfrac{14a - 2}{a} \gt 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 0) \cup \left(\dfrac{1}{7}; +\infty\right) \)[NEWLINE] Решим второе: [NEWLINE] \( \dfrac{2a - 2}{a} \lt 0 \Rightarrow a \in (0; 1) \) [NEWLINE] Пересечение: \( a \in \left(\dfrac{1}{7}; 1\right) \) [NEWLINE]\(\)[NEWLINE] Теперь объединим все подходящие \( a \): [NEWLINE] - \( a = 0 \) — подходит [NEWLINE] - \( a = \dfrac{1}{8} \) — подходит (даёт один \( y = -8 \)) [NEWLINE] - \( a \in \left(\dfrac{1}{7}; 1\right) \) — здесь \( y_1 \in (-6; 6) \), значит не даёт корней, а \( y_2 = -8 \) даёт ровно 2 корня.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Итак, все значения \( a \), при которых уравнение имеет ровно два различных корня:[NEWLINE] \[ a = 0,\quad a = \frac{1}{8},\quad a \in \left(\frac{1}{7};\,1\right) \][NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] \( a \in \left(\dfrac{1}{7};\,1\right) \cup \left\{ 0;\, \dfrac{1}{8} \right\} \)
    Задание 19 ☆
    Найдите все значения , при каждом из которых уравнение
    
    имеет ровно два различных корня.

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

20. На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на $2$ и уменьшают цифру в разряде единиц на $4$, либо уменьшают цифру в разряде десятков на $3$ и увеличивают цифру в разряде единиц на $2$. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.[NEWLINE] а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на $222$ меньше суммы получившихся чисел?[NEWLINE] б) Может ли количество чисел на доске равняться $32$, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?[NEWLINE] в) Какое максимальное количество чисел может быть записано на доске, если разность суммы исходных чисел и суммы преобразованных была равна $0$, и сумма чисел на доске меньше $1509$?

    Первая операция меняет число на $+20-4=+16$, вторая — на $-30+4=-26$; $\Delta=16a-26b$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]а)[/BOLD] Нужно $16a-26b=222$, то есть $8a-13b=111$. Подходит $a=22,\ b=5$: $8\cdot22-13\cdot5=176-65=111$.[NEWLINE] Пример: $22$ числа $14$ ($14\to30$) и $5$ чисел $40$ ($40\to14$) — все результаты двузначные.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: да.[/BOLD][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]б)[/BOLD] Равенство сумм: $16a=26b \Rightarrow 8a=13b \Rightarrow a=13k,\ b=8k$, всего $21k$. Но $32$ не кратно $21$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет.[/BOLD][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]в)[/BOLD] Всего чисел $21k$. Наименьшие исходные: для первой операции $14$ ($14\to30$), для второй $40$ ($40\to14$).[NEWLINE] Минимальная сумма: $14\cdot13k+40\cdot8k=182k+320k=502k<1509 \Rightarrow k\leqslant3$ ($502\cdot3=1506<1509$).[NEWLINE] При $k=3$: $a=39$ чисел $14$ и $b=24$ числа $40$, сумма $1506<1509$, чисел $63$.[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) да; б) нет; в) 63.
    Задание 20 ☆
    На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на и уменьшают цифру в разряде единиц на , либо уменьшают цифру в разряде десятков на и увеличивают цифру в разряде единиц на . Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.
    а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на меньше суммы получившихся чисел?
    б) Может ли количество чисел на доске равняться , если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?
    в) Какое максимальное количество чисел может быть записано на доске, если разность суммы исходных чисел и суммы преобразованных была равна , и сумма чисел на доске меньше ?

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

Ниже (после самооценки) вам будет предложено сохранить вариант