Генератор вариантов

Хотите сгенерировать свой вариант для лучшей подготовки? Настроить генератор

Сгенерированный вариант

1. В прямоугольном треугольнике ABC угол B = 21°. Необходимо найти величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C.

   [image:0:left]\(\angle DCM\) - искомый угол. Так как сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \): \( \angle A = 90^\circ - 21^\circ = 69^\circ. \)[IMAGENEWLINE] Медиана \( CM \) делит \( \triangle ABC \) на два равнобедренных треугольника \( \triangle AMC \) и \( \triangle BMC \), так как медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит:[IMAGENEWLINE] \(\angle ACD=45^{\circ}\), так как \(CD\) - биссектриса.[IMAGENEWLINE] \(\angle ACM=\angle ACD + \angle DCM\)[IMAGENEWLINE] \(\angle DCM=\angle ACM-\angle ACD\)[IMAGENEWLINE] \(\angle DCM=69^{\circ}-45^{\circ}=24^{\circ}.\)
   Задание 1 ☆
   В прямоугольном треугольнике ABC угол B = 21°. Необходимо найти величину угла между биссектрисой CD и медианой CM, проведёнными из вершины прямого угла C.

   
   Ваш ответ:
2. Даны векторы \( \vec{a}\)(2;1) и \( \vec{b} \) (2;-4). Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{a}\)+\(\vec{b}\) и 7\(\vec{a}\)+\(\vec{b}\)

   Даны векторы \( \vec{a}\)(2;1) и \( \vec{b} \) (2;-4). Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{a}\)+\(\vec{b}\) и 7\(\vec{a}\)+\(\vec{b}\)[NEWLINE] Для начала нужно понимать, что сложение векторов это и есть вектор, поэтому скалярное произведение векторов \( \vec{a}\)+\(\vec{b}\) и 7\(\vec{a}\)+\(\vec{b}\). [NEWLINE] \(7\vec{a}(14;7)\)[NEWLINE] Введем для простоты \(\vec{c}=\) \( \vec{a}\)+\(\vec{b}\rightarrow\) \(\vec{c}(4;-3)\). [NEWLINE] Аналогично, \(\vec{d}\)=\( \vec{7a}\)+\(\vec{b}\rightarrow\) \(\vec{d}(16;3)\) [NEWLINE] Тогда \(\vec{c}\cdot\vec{d} = 4\cdot16+(-3)\cdot3 = 64-9=55.\)
   Задание 2 ☆
   Даны векторы (2;1) и (2;-4). Найдите скалярное произведение векторов + и 7+
   Ваш ответ:
3. Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной призмы, если сторона её основания равна 5, а площадь поверхности равна 190.

   Площадь всей поверхности $S=2S_{осн}+S_{бок},$ где $S_{осн}$ — площадь квадрата (правильная призма); $S_{бок}$ — площадь 4-х прямоугольников, одну из сторон у которых необходимо найти, а другая — сторона основания (то есть $5$).[NEWLINE] Пусть $x$ — боковое ребро. Тогда $S_{осн}=4\cdot5\cdot x=20x.$ Составим и решим уравнение:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $190=2\cdot5^2+20x$[NEWLINE] $190-50=20x|:20$[NEWLINE] $x=7.$
   Задание 3 ☆
   Найдите боковое ребро правильной четырёхугольной призмы, если сторона её основания равна 5, а площадь поверхности равна 190.

   
   Ваш ответ:
4. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 23 пассажиров, равна 0,87. Вероятность того, что окажется меньше 14 пассажиров, равна 0,61. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 22 включительно.

   [image:0:right] Решать такие задания очень удобно с помощью числовой прямой. Нарисуем и обозначим: [IMAGENEWLINE] Получается, что нам нужно найти вот это расстояние между 3 и 4. То есть \(0,87-0,61=0,26.\) [BOLD]Это и будет ответом.[/BOLD][IMAGENEWLINE] Если у вас возник вопрос "Почему?", то давайте попробуем логически прийти к этому выводу. [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Данная числовая прямая объединяет в себе всевозможные вероятности. То есть если мы говорим про менее 14 пассажиров, то их явно менее 23, а значит в вероятность "меньше 23 пассажиров" входит вероятность "меньше 14 пассажиров" и вероятность "меньше 22 пассажиров, но больше 14 пассажиров". Тогда нам нужно это записать вот так:[IMAGENEWLINE] \(P(\text{меньше 23})=P(\text{больше 14, но меньше 22})+P(\text{меньше}14),\) где \(P(\text{больше 14, но меньше 22})\) - искомая вероятность. Отсюда \(P(\text{больше 14, но меньше 22})=P(\text{меньше 23})-P(\text{меньше 14})=0,26.\)
   Задание 4 ☆
   Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 23 пассажиров, равна 0,87. Вероятность того, что окажется меньше 14 пассажиров, равна 0,61. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 14 до 22 включительно.
   Ваш ответ:
5. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

   [image:0:left] Конвейер решается с помощью "Древа". Красные — из условия, Зеленые — посчитаны исходя из формулы полной вероятности.[IMAGENEWLINE] Нам нужны Исправные И Забракованные ИЛИ Неисправные И Забракованные (В теорвере "И" - действие "умножить", а "ИЛИ" - действие "сложить").[IMAGENEWLINE] Значит искомая вероятность будет равна: \(P=0,98\cdot0,01+0,02\cdot0,99=0,0098+0,0198=0,0296.\)
   Задание 5 ☆
   Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
   Ваш ответ:
6. Найдите корень уравнения $\log_8(x+5)=\log_8(2x-2).$

   $\log_8(x+5)=\log_8(2x-2).$[NEWLINE] $x+5=2x-2$[NEWLINE] $2x-x=5+2$[NEWLINE] $x=7.$[NEWLINE] Не забываем про ограничения. Здесь единственный корень и он подходит, понятное дело, но всякое может быть.
   Задание 6 ☆
   Найдите корень уравнения
   Ваш ответ:
7. Найдите значение выражения: \( \log_{2}6,4+\log_{2}10 \)

   \( \log_{a}b + \log_{a}c = \log_{a}(b \cdot c) \)[NEWLINE] \( \log_{2}6,4+\log_{2}10 = \log_{2}(6,4 \cdot 10) =\) \( \log_{2}64 = 6. \)[NEWLINE]
   Задание 7 ☆
   Найдите значение выражения:
   Ваш ответ:
8. На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

   [image:0:left]Если функция убывает, то касательная с положительным направлением оси $Ox$ будет составлять тупой угол. Чем ближе этот угол к $\frac{\pi}{2},$ тем быстрее функция убывает (то есть склона как бы "круче"). Точки $2$ и $4$ нам не подходят, так как там функция возрастает. [IMAGENEWLINE] Достроим касательные к точкам, в которых функция убывает (см. рис.)[IMAGENEWLINE] Очевидно, что в точке $x=-1$ функция убывает быстрее, значит производная там самая наименьшая.
   Задание 8 ☆
   На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены точки -2, -1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

   
   Ваш ответ:
9. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t)=m₀\(\cdot\)2\(^{-\frac{t}{T}}\), где m₀ - начальная масса изотопа, t - время, прошедшее от начального момента, T - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.

   Есть несколько вариантов решения:[NEWLINE] 1) Самый простой это вспомнить, что такое полураспад — половина массы вещества превращается в другое вещество, а значит у нас получается так: 0 мин - 100 мг; 2 мин - 50 мг; 4 мин - 25 мг; 6 мин - 12,5 мг. Вот и все. Ответ: 6.[NEWLINE] [NEWLINE] 2) Несколько сложнее подставить и посчитать: [NEWLINE] \(12,5=100\cdot2^{-\frac{t}{2}}|:100\)[NEWLINE] \(\frac{12,5}{100}=(\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}}\) [NEWLINE] \(\frac{1}{8}=(\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}}\)[NEWLINE] \((\frac{1}{2})^3=(\frac{1}{2})^{\frac{t}{2}}\)[NEWLINE] \(3=\frac{t}{2}|\cdot2\)[NEWLINE] \(t=6\)[NEWLINE] [NEWLINE] 3) Еще сложнее, но фундаментальнее сначала получить формулу и только потом подставлять. В учебных целях, сделаем это, а подставите сами, если захотите. [NEWLINE] \(m(t)=m_0\cdot2^{-\frac{t}{T}}|:m_0\)[NEWLINE] \(\frac{m(t)}{m_0}=2^{-\frac{t}{T}}\)[NEWLINE] \(log_ab=c \leftrightarrow a^c=b\), где \(a=2, b=\frac{m(t)}{m_0}, c=-\frac{t}{T}\)[NEWLINE] \(log_{2}\frac{m(t)}{m_0}=-\frac{t}{T}|\cdot(-T)\) [NEWLINE] \(t=-Tlog_{2}\frac{m(t)}{m_0}\) [NEWLINE] \(t=log_{2}(\frac{m_0}{m(t)})^T.\)
   Задание 9 ☆
   В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону m(t)=m₀2, где m₀ - начальная масса изотопа, t - время, прошедшее от начального момента, T - период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа 100 мг. Период его полураспада составляет 2 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг.
   Ваш ответ:
10. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метров. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

    Обозначим длину пассажирского поезда как \( L \) (в метрах). [NEWLINE] Скорость пассажирского поезда \( v_1 = 90 \) км/ч \( = 25 \) м/с,[NEWLINE] Скорость товарного поезда \( v_2 = 30 \) км/ч \( = \frac{25}{3} \) м/с,[NEWLINE] Длина товарного поезда \( l = 600 \) м,[NEWLINE] Время обгона \( t = 1 \) мин \( = 60 \) с.[NEWLINE] Относительная скорость пассажирского поезда относительно товарного: \[ v_{\text{отн}} = v_1 - v_2 = 25 - \frac{25}{3} = \frac{50}{3} \text{ м/с}. \][NEWLINE] Общее расстояние, которое пассажирский поезд должен пройти относительно товарного: \[ S = L + l = L + 600 \text{ м}. \][NEWLINE] Время обгона: \[ t = \frac{S}{v_{\text{отн}}} \implies 60 = \frac{L + 600}{\frac{50}{3}}. \][NEWLINE] Решаем:[NEWLINE] \[ 60 = \frac{3(L + 600)}{50} \implies 3000 = 3L + 1800 \implies 3L = 1200 \implies L = 400. \]
    Задание 10 ☆
    По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метров. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.
    Ваш ответ:
11. На рисунке изображены графики функций вида f(x)=kx+b, которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.

    [image:0:left] Восстановим коэффициенты двух функций. Для начала \(I:\)[IMAGENEWLINE] Возьмем две точки \((4;1),\) \((2;6)\), составим систему уравнений и решим её:[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} 1=4k+b \\ 6=2k+b \end{cases}\rightarrow\) \(\begin{cases} k=-2,5 \\ b=11 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] Итак, \(I: y=-2,5x+11\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Теперь $II:$[IMAGENEWLINE] Возьмем две точки $(-4;2),$ $(-2;5),$ составим систему уравнений и решим её:[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} 2=-4k+b \\ 5=-2k+b \end{cases}\rightarrow\) \(\begin{cases} k=1,5 \\ b=8 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] Итак, \(II: y=1,5x+8\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Находим точку пересечения:[IMAGENEWLINE] $1,5x+8=-2,5x+11$[IMAGENEWLINE] $4x=3|:4$[IMAGENEWLINE] $x=0,75.$
    Задание 11 ☆
    На рисунке изображены графики функций вида f(x)=kx+b, которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.

    
    Ваш ответ:
12. Найдите точку максимума функции \(y=(x+8)^2\cdot e^{3-x}.\)

    Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти промежуток, в котором плюс меняется на минус. Это делается с помощью производной и ее нулей, ведь если функция меняет убывание на возрастание, то значит она остановилась и "пошла" в другую сторону. [NEWLINE] Определим правила дифференцирования: [NEWLINE] \((x^n)'=nx^{n-1}\) [NEWLINE] \((UV)'=U'V+UV'\)[NEWLINE] \((e^x)'=e^x\), но в данном случае функция сложная, а значит \((f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)\).[NEWLINE] \(y'=((x+8)^2)'\cdot e^{3-x}+(x+8)^2\cdot (e^{3-x})'=\)\(2(x+8)\cdot e^{3-x}-(x+8)^2\cdot e^{3-x}=\)\(e^{3-x}(x+8)(2-x-8)=\)\(e^{3-x}(x+8)(-x-6).\)[NEWLINE] Приравняем к нулю.[NEWLINE] \(e^{3-x}(x+8)(-x-6)=0\)[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(e^{3-x}=0\)[NEWLINE]Это показательная функция. Она не может быть равной нулю по свойствам. Значит здесь нет корней. Причем она строго положительная. Это влияет на промежутки знакопостоянства производной.[COLUMN-BREAK]\((x+8)(-x-6)\)[NEWLINE]\(x=-8\) ИЛИ \(x=-6\)[/TWO-COLUMNS] [image:0:left] Нанесем эти корни на числовую прямую. Так как у нас квадратичная функция анализируется (потому что показательная всегда положительна) и ветви вниз, то будут знаки "минус-плюс-минус" (см. рис.). Точка \(x=-8\) - точка минимума, а \(x=-6\) - точка максимума. Это и будет ответом.
    Задание 12 ☆
    Найдите точку максимума функции
    Ваш ответ:
13. а) Решите уравнение \[ 4\sqrt{3} \cos^3 x = \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) \] [NEWLINE] б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-4\pi; -\frac{5\pi}{2}]\).

    1. Преобразуем правую часть, используя формулу приведения: \[ \cos\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin 2x \] [NEWLINE] Получаем уравнение: \[ 4\sqrt{3} \cos^3 x = -\sin 2x \] [NEWLINE] 2. Выразим \(\sin 2x\) через \(cos x\): \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] [NEWLINE] Подставляем в уравнение: \[ 4\sqrt{3} \cos^3 x = -2 \sin x \cos x \] [NEWLINE] 3. Переносим все в одну сторону и выносим общий множитель: \[ 4\sqrt{3} \cos^3 x + 2 \sin x \cos x = 0 \] [NEWLINE] \[ 2 \cos x (2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x) = 0 \] [NEWLINE] 4. Получаем два случая: [NEWLINE] - \(\cos x = 0\) [NEWLINE] \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] [NEWLINE] - Случай 2: \(2\sqrt{3} \cos^2 x + \sin x = 0\) [NEWLINE] Используем основное тригонометрическое тождество: \[ 2\sqrt{3} (1 - \sin^2 x) + \sin x = 0 \] [NEWLINE] \[ 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \sin^2 x + \sin x = 0 \] [NEWLINE] Умножаем на -1 и упорядочиваем: \[ 2\sqrt{3} \sin^2 x - \sin x - 2\sqrt{3} = 0 \][NEWLINE] 5. Делаем замену \(t = \sin x\): [NEWLINE] \[ 2\sqrt{3} t^2 - t - 2\sqrt{3} = 0 \] [NEWLINE] Находим дискриминант: \[ D = 1 + 48 = 49 \] [NEWLINE] Корни: [NEWLINE] \[ t_1 = \frac{1 + 7}{4\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \] (не подходит, так как \(|\sin x| \leq 1\)) [NEWLINE] \[ t_2 = \frac{1 - 7}{4\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] [NEWLINE] 6. Решаем уравнение \(\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\): \[ x = \left[ \begin{aligned} & -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \\ & \frac{4\pi}{3} + 2\pi n \\ \end{aligned} \right., \quad n \in \mathbb{Z} \] Ответ: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \] [NEWLINE] Решение пункта б: Проведем отбор корней с помощью тригонометрической окружности [NEWLINE] [image:0]
    Задание 13 ☆
    а) Решите уравнение
    б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

14. Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, точка M — середина ребра CC₁. Плоскость ɑ проходит через точки B₁, A и M.[NEWLINE] а) Докажите, что сечение призмы плоскостью ɑ является равнобедренным треугольником.[NEWLINE] б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью ɑ равна 18 и AB=4.

    [image:0:right]а) Рассмотрим треугольники $\triangle B_1C_1M$ и $\triangle MCA:$[IMAGENEWLINE] 1) Заметим, что, так как по условию $ABCA_1B_1C_1$ — правильная треугольная призма, то основания равны и перпендикулярны боковым граням. Откуда следует, что $CA=C_1B_1.$ и $\angle MC_1B_1=MCA=90^\circ.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] 2) $CM=C_1M,$ так как $M$ — середина $CC_1.$[IMAGENEWLINE] Следовательно, $\triangle B_1C_1M=\triangle MCA$ по первому признаку равенства треугольников. Откуда следует, что $MB_1=MA \rightarrow \triangle AMB_1$ — равнобедренный треугольник по определению, [BOLD]что и требовалось доказать.[/BOLD][IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:right]б) $MK$ — высота $\triangle AMB_1.$[IMAGENEWLINE] $S_{\triangle AMB_1}=\frac{1}{2}MK\cdot AB_1 \rightarrow MK=\frac{2S{\triangle AMB_1}}{AB_1}.$ [IMAGENEWLINE] Значит теперь нашей задачей будет нахождение $AB_1.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Пусть $BB_1=x$[IMAGENEWLINE] По теореме Пифагора:[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $AB_1=\sqrt{x^2+16}$[IMAGENEWLINE] $AK=\frac{\sqrt{x^2+16}}{2}$ (по свойству высоты, проведённой к основанию, она совпадает с медианой и биссектрисой)[IMAGENEWLINE] $BB_1=CC_1=x\rightarrow CM=\frac{x}{2}$[IMAGENEWLINE] По теореме Пифагора:[IMAGENEWLINE] $MK=\sqrt{AM^2-AK^2},$ $AM=\sqrt{(\frac{x}{2})^2+16}$[IMAGENEWLINE] $MK=\sqrt{\frac{x^2}{4}+16-\frac{x^2+16}{4}}$[IMAGENEWLINE] $MK=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$[IMAGENEWLINE] $S_{\triangle AMB_1}=18$[IMAGENEWLINE] $18=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt3AB_1 \rightarrow AB_1=\frac{18\sqrt3}{3}=6\sqrt3$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] По теореме Пифагора для $\triangle ABB_1:$[IMAGENEWLINE] $BB_1=\sqrt{(6\sqrt{3})^2-4^2}=\sqrt{92}=2\sqrt{23}.$
    Задание 14 ☆
    Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, точка M — середина ребра CC₁. Плоскость ɑ проходит через точки B₁, A и M.
    а) Докажите, что сечение призмы плоскостью ɑ является равнобедренным треугольником.
    б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы плоскостью ɑ равна 18 и AB=4.

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

15. Решите неравенство $ \frac{(x+2)^2 - 4}{x + 4} + \frac{25}{x + 2} \le 8. $

    \[ \frac{(x+2)^2 - 4}{x + 4} + \frac{25}{x + 2} \le 8 \][NEWLINE] \[ \frac{(x+2-2)(x+2+2)}{x+4} + \frac{25}{x+2} - 8 \le 0 \][NEWLINE] \[ \frac{x(x+4)}{x+4} + \frac{25}{x+2} - 8 \le 0 \][NEWLINE] Сократим $x+4,$ но не будем забывать нанести эту выколотую точку на числовую прямую при решении методом интервалов![NEWLINE] \[ x + \frac{25}{x+2} - 8 \le 0 \][NEWLINE] \[ \frac{x(x+2) + 25 - 8(x+2)}{x+2} \le 0 \][NEWLINE] \[ \frac{x^2 + 2x + 25 - 8x - 16}{x+2} \le 0 \][NEWLINE] \[ \frac{x^2 - 6x + 9}{x+2} \le 0 \][NEWLINE] \[ \frac{(x - 3)^2}{x + 2} \le 0 \][NEWLINE] Нанесём на числовую прямую и методом интервалов решим. Не забываем, что $x = 3$ — корень чётной кратности и необходимо выколоть точку $x = -4$[NEWLINE] [image:0:right]Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -2) \cup \{3\}.$
    Задание 15 ☆
    Решите неравенство

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

16. По вкладу "А" банк в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу "Б" — увеличивает эту сумму на 22% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу "Б", при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад "А".

    Разберем отдельно каждый вклад и обозначим за $x\%$ — натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу "Б". [TWO-COLUMNS]1) Вклад "А"[NEWLINE]$S$ — сумма вклада[NEWLINE]$r_A=20 \% , k=1,2$[NEWLINE]Тогда вклад через 3 года будет $Sk^3$[COLUMN-BREAK]2) Вклад "Б"[NEWLINE]$S$ — сумма вклада[NEWLINE]$r_\text{Б, 2 года}=22 \% ; n=1,22 $[NEWLINE]$r_\text{Б, 3-й год}=x \% $[NEWLINE]Вклад через 3 года будет $Sn^2(1+\frac{x}{100}).$[/TWO-COLUMNS] Теперь внимательно посмотрим на вопрос и составим по нему неравенство: [BOLD]Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу "Б", при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад "А"[/BOLD][NEWLINE] Буквально спрашивают, когда $Sk^3$ будет больше, чем $Sn^2(1+\frac{x}{100}).$ Так и запишем, подставим и решим неравенство:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $Sk^3 \gt Sn^2(1+\frac{x}{100})|:S$[NEWLINE] $k^3 \gt n^2(1+\frac{x}{100})$[NEWLINE] $1,2^3 \gt 1,22^2(1+\frac{x}{100})|:1,22^2$[NEWLINE] $\frac{1,728}{1,4884} \gt 1+\frac{x}{100}$[NEWLINE] $\frac{1,728}{1,4884}-1 \gt \frac{x}{100}$[NEWLINE] $\frac{0,2396}{1,4884} \gt \frac{x}{100}$[NEWLINE] $0,1609 \gt \frac{x}{100}|\cdot 100$[NEWLINE] $x \lt 16,09$[NEWLINE] Ближайшим целым числом, которое попадает под заданный интервал, будет $x=16.$ Это и будет ответом[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 16
    Задание 16 ☆
    По вкладу "А" банк в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу "Б" — увеличивает эту сумму на 22% в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу "Б", при котором за три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад "А".

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

17. В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM=BP, AB=BQ.[NEWLINE] а) Докажите, что BM=PQ.[NEWLINE] б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM=BP=8, AB=BQ=10.

    [image:0:left] а) Проведем \(QH\perp BP.\) \(QH||BC,\) так как \(BP\perp BC.\) Тогда \(\angle1=\angle2 \) как накрест лежащие углы.[IMAGENEWLINE] \(\angle A=\angle C \rightarrow \angle1=\angle2=\angle3.\)[IMAGENEWLINE] Заметим, что \( \angle5=90^\circ=\angle6, \angle1=\angle3,\) а также \(\angle 4=\angle A\) и \(AB=BQ, AM=BP \rightarrow \triangle ABM=\triangle BPQ\) (по двум равным сторонам и равному углу между ними).[IMAGENEWLINE] В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, а значит \(BM=PQ\) как стороны лежащие напротив \(\angle A=\angle 4\), что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE] [image:1:left]б) Пусть \(S_{APQ}=\frac{1}{2}AP\cdot PH.\)[IMAGENEWLINE] \(\triangle BAP=\triangle BHQ\) по стороне \(AB=BQ\) и двум прилежащим к ней углам \(\angle1=\angle3,\angle4=\angle A.\)[IMAGENEWLINE] Значит \(AP=BH.\)[IMAGENEWLINE] Из теоремы Пифагора в \(\triangle ABP: AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=6=BH.\)[IMAGENEWLINE] Так как \(BP=BH+PH,\) то \(PH=BP-BH=8-6=2.\)[IMAGENEWLINE] Следовательно, \(S_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2=6.\)[IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 6
    Задание 17 ☆
    В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM=BP, AB=BQ.
    а) Докажите, что BM=PQ.
    б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM=BP=8, AB=BQ=10.

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

18. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение [NEWLINE]$a(x+\frac{4}{x})^2+3(x+\frac{4}{x})-36a+18=0$ [NEWLINE]имеет ровно два различных корня.

    $a(x+\frac{4}{x})^2+3(x+\frac{4}{x})-36a+18=0$[NEWLINE] Введём замену $y=x+\frac{4}{x} $ и проанализируем её:[NEWLINE] $xy=x^2+4\rightarrow x^2-xy+4=0$[NEWLINE] То есть относительно $x$ заменённое уравнение — квадратичное. Значит оно имеет два корня при $D \gt 0$ и один корень при $D=0.$[NEWLINE] $D=y^2-16$[NEWLINE] $D \gt 0 \rightarrow y \in (-\infty;-4) \cup (4;+\infty)$ [NEWLINE] $D=0 \rightarrow y=\pm4$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Рассмотрим теперь $ay^2+3y-36a+18=0$[NEWLINE] Данное уравнение может быть [BOLD]линейным[/BOLD] (при $a=0$) и [BOLD]квадратным[/BOLD] (при $a\neq0$).[NEWLINE] $I.$ [BOLD]Рассмотрим первую ситуацию:[/BOLD][NEWLINE] $3y+18=0 \rightarrow y=-6\in (-\infty;-4) \cup (4;+\infty)$[NEWLINE] Значит при $a=0$ искомое уравнение имеет ровно 2 различных корня[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $II.$ [BOLD]Вторая ситуация:[/BOLD][NEWLINE] Найдём дискриминант $ay^2+3y-36a+18=0:$[NEWLINE] $D=9-4\cdot a\cdot (-36a+18)=$$144a^2-72a+9=(12a-3)^2$[NEWLINE] 1) Если $D=0,$ то $y=\frac{-b}{2a}.$[NEWLINE] Найдём $a$ из дискриминанта, равного нулю:[NEWLINE] $(12a-3)^2=0 \rightarrow a=\frac{1}{4}$[NEWLINE] Тогда $y=\frac{-3}{2\cdot \frac{1}{4}}=-6$ (опять, уже знаем, что подходит)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 2) Если $D \gt 0.$ Казалось бы, нам такое не подходит, ведь если так будет, то каждый из $y$ даст по два корня и в результате их будет $4,$ но ведь мы можем сказать, что действительно корня будет два, вот только один [BOLD]не будет попадать в свои же ограничения![/BOLD][NEWLINE] Тогда $y_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{(12a-3)^2}}{2a}$[NEWLINE] $y_1=\frac{-3+12a-3}{2a}=\frac{6a-3}{a}$[NEWLINE] $y_2=\frac{-3-12a+3}{2a}=-6$[NEWLINE] Теперь мы видим, что $y_2$ уже попадает и является решением. Значит нам нужно найти такие значения $a,$ при которых $y_1$ не входит в $(-\infty;-4) \cup (4;+\infty).$ Составим систему:[NEWLINE] \(\begin{cases} \frac{6a-3}{a} \gt -4 \\ \frac{6a-3}{a} \lt 4 \end{cases}\)\(\begin{cases} \frac{10a-3}{a} \gt 0 \\ \frac{2a-3}{a} \lt 0 \end{cases}\) Решив оба неравенства, пересечём их и получим, что $a\in(\frac{3}{10};\frac{3}{2})$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Объединяя с предыдущими, получаем ответ:[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in(\frac{3}{10};\frac{3}{2})\cup\{0;\frac{1}{4}\}$
    Задание 18 ☆
    Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
    
    имеет ровно два различных корня.

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

Ниже (после самооценки) вам будет предложено сохранить вариант