Генератор вариантов

Хотите сгенерировать свой вариант для лучшей подготовки? Настроить генератор

Сгенерированный вариант

1. В треугольнике ABC сторона AB = 3√2, угол C = 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

   Используем формулу для радиуса описанной окружности треугольника: \( R = \frac{a}{2 \sin A} \) где \( a \) — длина стороны, а \( A \) — \( \angle \) напротив этой стороны. В данном случае \( a = AB = 3\sqrt{2} \), и \( \angle C = 135^\circ \), следовательно, \( \angle A = 135^\circ \). Таким образом, радиус \( R \) равен: [NEWLINE] \( R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \sin 135^\circ} \) [NEWLINE] Поскольку \( \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \)(синусы смежных углов равны), подставим это значение в формулу: [NEWLINE] \( R = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \)
   Задание 1 ☆
   В треугольнике ABC сторона AB = 3√2, угол C = 135°. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

   
   Ваш ответ:
2. Даны векторы \( \vec{a}\)(5;3) и \( \vec{b}\)(4;-6). Найдите скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \).

   Скалярное произведение двух векторов \( \vec{a}(x_a, y_a) \) и \( \vec{b}(x_b, y_b) \) вычисляется по формуле: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = x_a \cdot x_b + y_a \cdot y_b \) [NEWLINE] Подставляем значения: \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 4 + 3 \cdot (-6) = 20 - 18 = 2. \)
   Задание 2 ☆
   Даны векторы (5;3) и (4;-6). Найдите скалярное произведение .
   Ваш ответ:
3. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 9√2. Найдите радиус сферы.

   [image:0:left] Высота и радиус конуса равны, а радиус сферы и основания конуса совпадают, так как сфера содержит окружность основания конуса.[IMAGENEWLINE] \(AO=OB=H=R,\) а образующая \(l=AB\) - гипотенуза \(\triangle AOB\). [IMAGENEWLINE] \(l=\sqrt{R^2+H^2}=\sqrt{2R^2}=R\sqrt{2} \rightarrow\) \(R=\frac{l}{\sqrt2}=\frac{9\sqrt2}{\sqrt2}=9.\)
   Задание 3 ☆
   Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна 9√2. Найдите радиус сферы.

   
   Ваш ответ:
4. Стас, Денис, Костя, Маша, Даша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка.

   $P=\frac{2}{5}=0,4$
   Задание 4 ☆
   Стас, Денис, Костя, Маша, Даша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет девочка.
   Ваш ответ:
5. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Химик" играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх "Химик" проиграет жребий ровно один раз.

   Вероятность того, что команда "Химик" начнет игру с мячом в одном матче: \( P = \frac{1}{2} \) [NEWLINE] Пусть X — проигрыш, Y — выигрыш. Тогда подходят нам только события вида XXY, XYX, YXX. То есть 3 раза из $2^3=8$ событий.[NEWLINE] Так как команда играет три матча, и события независимы, общая вероятность того, что команда "Химик" проиграет жребий ровно один раз: \( P_{\text{общ}} = \left(\frac{3}{8}\right)=0,375. \) [NEWLINE]
   Задание 5 ☆
   Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда "Химик" играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх "Химик" проиграет жребий ровно один раз.
   Ваш ответ:
6. Найдите корень уравнения (x-3)³=125

   Извлекаем корень третьей степени с обеих частей [NEWLINE] x-3=5 [NEWLINE] x=8.
   Задание 6 ☆
   Найдите корень уравнения (x-3)³=125
   Ваш ответ:
7. Найдите значение выражения $(\sqrt{11}-\sqrt{7})(\sqrt{11}+\sqrt{7}).$

   $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ [NEWLINE] $(\sqrt{11})^2-(\sqrt{7})=11-7=4.$
   Задание 7 ☆
   Найдите значение выражения
   Ваш ответ:
8. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-1;10). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

   [image:0:left]Производная функции — скорость функции. Поэтому, когда производная равна нулю, функция не двигается. [IMAGENEWLINE] Более того, когда функция останавливается, график касательной к функции становится параллельным оси абсцисс. Таких всего 5 (см.рис)
   Задание 8 ☆
   На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-1;10). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

   
   Ваш ответ:
9. Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч². Скорость v вычисляется по формуле \(v = \sqrt{2la} \), где l — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ дайте в км/ч².

   Подставим l = 1, v = 100 в формулу:[NEWLINE] \[ 100 = \sqrt{2 \cdot 1 \cdot a} \Rightarrow 100^2 = \]\[2a \Rightarrow 10000 = 2a \Rightarrow a = 5000 \]
   Задание 9 ☆
   Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч². Скорость v вычисляется по формуле , где l — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ дайте в км/ч².
   Ваш ответ:
10. Заказ на изготовление 209 деталей первый рабочий выполняет на 8 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 8 деталей больше?

    Решим с помощью таблицы: [NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{Рабочий} & \textbf{\( N \) (дет./ч)} & \textbf{\( A \) (дет.)} & \textbf{\( t = \frac{S}{v} \) (ч)} \\ \hline \text{Первый} & x + 8 & 209 & \frac{209}{x + 8} \\ \hline \text{Второй} & x & 209 & \frac{209}{x} \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] Из условия известно, что первый рабочий выполняет заказ на 8 часов быстрее второго. Составим уравнение: \[ \frac{209}{x} - \frac{209}{x + 8} = 8. \]. [NEWLINE] \[ \frac{209(x + 8) - 209x}{x(x + 8)} = 8 \] [NEWLINE] \[ \frac{209x + 1672 - 209x}{x(x + 8)} = 8 \] [NEWLINE] \[ \frac{1672}{x(x + 8)} = 8|\cdot x(x + 8) \] [NEWLINE] \[ 1672 = 8x(x + 8) \] [NEWLINE] \[ 1672 = 8x^2 + 64x \] [NEWLINE] \[ 8x^2 + 64x - 1672 = 0|:8 \] [NEWLINE] \[ x^2 + 8x - 209 = 0 \] [NEWLINE] \[ D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209) = 64 + 836 = 900. \] [NEWLINE] \[ x = \frac{-8 \pm 30}{2}. \] [NEWLINE] \[ x_1 = \frac{-8 + 30}{2} = \frac{22}{2} = 11, \] [NEWLINE] \[ x_2 = \frac{-8 - 30}{2} = \frac{-38}{2} = -19. \] [NEWLINE] Производительность не может быть отрицательной, поэтому выбираем \( x = 11 \).
    Задание 10 ☆
    Заказ на изготовление 209 деталей первый рабочий выполняет на 8 часов быстрее, чем второй. Сколько деталей за час изготавливает второй рабочий, если известно, что первый за час изготавливает на 8 деталей больше?
    Ваш ответ:
11. На рисунке изображён график функции $f(x)=2x^2+bx+c.$ Найдите значение f(-6).

    Восстановим коэффициенты, взяв точки $(-1;2)$, $(-4;-1)$ и составим систему уравнений:[NEWLINE] \(\begin{cases} -2=2\cdot(-1)^2-b+c \\ -1=2\cdot(-4)^2-4b+c \end{cases}\) \(\begin{cases} 2=2-b+c \\ -1=32-4b+c \end{cases}\)[NEWLINE] Вычитаем из верхнего нижнее:[NEWLINE] $2+1=-30+3b$[NEWLINE] $3b=33|:3$[NEWLINE] $b=11 \rightarrow c=b=11.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Таким образом, $f(x)=2x^2+11x+11$[NEWLINE] Тогда $f(-6)=2\cdot36+11\cdot(-6)+11=$$72-66+11=17$
    Задание 11 ☆
    На рисунке изображён график функции Найдите значение f(-6).

    
    Ваш ответ:
12. Найдите наименьшее значение функции $y=7\cos x-13x+9$ на отрезке $\left[-\dfrac{3\pi}{2}; 0\right].$

    Наименьшее значение функции достигается тогда, когда функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания. Конечно же, для нахождения этих промежутков необходимо найти производную, найти ее нули (ведь производная это скорость, а ее нули - точки "остановки" функции): [NEWLINE] $y'=-7\sin x-13$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Найдем нули производной:[NEWLINE] $-7\sin x-13=0$[NEWLINE] $\sin x=-\frac{13}{7} \lt -1 \rightarrow$ нет решений.[NEWLINE] Значит производная не имеет нулей? Именно так. Давайте определим тогда её знак:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $-1 \le \sin x \le 1$[NEWLINE] $-7 \le -7\sin x \le 7$[NEWLINE] $-20 \le 7\sin x -13 \le -6 \rightarrow$ производная всегда отрицательна $\rightarrow$ функция всегда убывает $\rightarrow$ наименьшее значение на отрезке $\left[-\dfrac{3\pi}{2};\; 0\right].$ будет при $x=0.$ Подставляем в функцию:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $y=7\cos0-13\cdot0+9=16.$
    Задание 12 ☆
    Найдите наименьшее значение функции на отрезке
    Ваш ответ:
13. а) Решите уравнение \(2+2\cos(\pi-2x)+\sqrt8\sin x=\sqrt6+\sqrt{12}\sin x.\)[NEWLINE] б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([3\pi;\frac{9\pi}{2}].\)

    \(2-2\cos2x+\sqrt8\sin x-\sqrt6-\sqrt{12}\sin x=0\)[NEWLINE] \(2-2(1-2\sin^2x)+2\sqrt2\sin x-\sqrt2\sqrt3-2\sqrt3\sin x=0\)[NEWLINE] \(2-2+4\sin^2x+2\sqrt2\sin x-\sqrt3(\sqrt2+2\sin x)=0\)[NEWLINE] \(2\sin x(2\sin x+\sqrt2)-\sqrt3(\sqrt2+2\sin x)=0\)[NEWLINE] \((2\sin x+\sqrt2)(2\sin x-\sqrt3)=0\)[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(2\sin x+\sqrt2=0\)[NEWLINE]\(\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}\)[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \quad n \in Z \\ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in Z \\\end{aligned}\right.\)[COLUMN-BREAK]\(2\sin x-\sqrt3=0\)[NEWLINE]\(\sin x=\frac{\sqrt3}{2}\)[NEWLINE]\(\left[\begin{aligned} x=\frac{2\pi}{3}+2\pi h, \quad h \in Z \\x=\frac{\pi}{3}+2\pi m, \quad m \in Z \\\end{aligned}\right.\)\(\)[/TWO-COLUMNS] б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесем корни и отрезок на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] Все корни получаются движением от точек пересечения окружности и координатной плоскости. \(x_1\) получается движением от \(4\pi\) вперед на \(\frac{\pi}{3}\), \(x_2\) — движением назад от \(4\pi\) на \(\frac{\pi}{3}\), \(x_3\) получается движением от \(3\pi\) вперед на \(\frac{\pi}{4}\), а остальные корни не попадают в заданный отрезок.[IMAGENEWLINE] \(x_1=4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}.\)[IMAGENEWLINE] \(x_2=4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}.\)[IMAGENEWLINE] \(x_3=3\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{13\pi}{4}.\)[NEWLINE] Ответ:а) \(\left[\begin{aligned} x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \quad n \in Z \\ x=\frac{5\pi}{4}+2\pi k, \quad k \in Z \\ x=\frac{2\pi}{3}+2\pi h, \quad h \in Z \\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi m, \quad m \in Z\\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] \(x_1=4\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{13\pi}{3}.\)[NEWLINE] \(x_2=4\pi-\frac{\pi}{3}=\frac{11\pi}{3}.\)[NEWLINE] \(x_3=3\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{13\pi}{4}.\)[NEWLINE]
    Задание 13 ☆
    а) Решите уравнение
    б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

14. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 7. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB=5. Через точки K и C₁ проведена плоскость ɑ, параллельная прямой BD₁.[NEWLINE] а) Докажите, что A₁P:PB₁=3:2, где P — точка пересечения плоскости ɑ с ребром A₁B₁.[NEWLINE] б) Найдите длину меньшего из отрезков, на которые плоскость ɑ делит диагональ B₁D.

    [image:0][image:1]
    Задание 14 ☆
    В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 7. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB=5. Через точки K и C₁ проведена плоскость ɑ, параллельная прямой BD₁.
    а) Докажите, что A₁P:PB₁=3:2, где P — точка пересечения плоскости ɑ с ребром A₁B₁.
    б) Найдите длину меньшего из отрезков, на которые плоскость ɑ делит диагональ B₁D.

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

15. Решите неравенство \(\frac{27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27}{50x^2-110x+60,5}\geq0.\)

    В данном задании предполагается, что вы увидите формулы сокращенного умножения (ФСУ). Но если в знаменателе ее увидеть достаточно легко (как минимум, потому что коэффициенты очень неприятные, поэтому хочется преобразовать), то вот в числителе формулу [BOLD]куб разности[/BOLD] заметить не так-то просто. Поэтому предлагаю вам разложить на множители [BOLD]теоремой Безу[/BOLD].[NEWLINE] Рассмотрим ограничения: [NEWLINE] \(50x^2-110x+60,5\neq0|\cdot2\)[NEWLINE] \(100x^2-220x+121\neq0\)[NEWLINE] \((10x)^2-2\cdot10x\cdot11+11^2\neq0\)[NEWLINE] \((10x-11)^2\neq0\)[NEWLINE] \(x\neq1,1\) (2 кр.)[NEWLINE] Значит \(x\in(-\infty;1,1)∪(1,1;+\infty).\)[NEWLINE] При этом, заметим, что \((10x-11)^2\geq0\) само по себе. А вместе с ограничениями: [NEWLINE] \((10x-11)^2 > 0 \rightarrow \) зная, что искомая дробь неотрицательна \((\geq0),\) из этого следует:[NEWLINE] \(27^x-9^{x+1}+3^{x+3}-27 \geq0, \) пусть \(3^x=t,\) \(t>0:\) [NEWLINE] \(t^3-9t^2+27t-27\geq00\)[NEWLINE] По теореме Безу (один из делителей свободного члена — корень), методом подстановки, определяем, что корнем будет \(t=3.\) Поделим многочлен на \(t-3\): [NEWLINE] [image:0:left] Заметим, что \(t^2-6t+9 = (t-3)^2 \rightarrow\)\(t^3-9t^2+27t-27=(t-3)^3.\)[IMAGENEWLINE] Перейдем обратно к искомой переменной и к неравенству:[IMAGENEWLINE] \((3^x-3)^3 \geq0 \)[IMAGENEWLINE] \(3^x-3 \geq0 \)[IMAGENEWLINE] \(x-1\geq 0\)[IMAGENEWLINE] \(x\geq1.\)[IMAGENEWLINE] Пересекая с ОДЗ \((x\neq1,1)\), получаем:[NEWLINE] Ответ: \(x \in [1;1,1)∪(1,1;+\infty).\)
    Задание 15 ☆
    Решите неравенство

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

16. В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.[NEWLINE] Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 520 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?

    Обозначим: [NEWLINE] $A$ — сумма кредита (в рублях), [NEWLINE] $k = 1{,}3$ — коэффициент увеличения долга, [NEWLINE] $x$ — ежегодный платёж. [NEWLINE] Составим таблицу: [NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1 & A & Ak & x \\ \hline 2 & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline 3 & Ak^2 - xk - x & (Ak^2 - xk - x)k & x \\ \hline \end{array} \] [NEWLINE] После третьего платежа долг равен нулю: [NEWLINE] \[ (Ak^2 - xk - x)k - x = 0 \] [NEWLINE] \[ Ak^3 - xk^2 - xk - x = 0 \] [NEWLINE] \[ Ak^3 = x(k^2 + k + 1) \] [NEWLINE] \[ x = \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} \] [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] Общая сумма платежей это $3x$. По условию: [NEWLINE] \[ 3x = A + 520\,200 \] [NEWLINE] Подставим $x$: [NEWLINE] \[ 3 \cdot \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} = A + 520\,200 \] [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}3$: \[ 3 \cdot \frac{A \cdot (1{,}3)^3}{(1{,}3)^2 + 1{,}3 + 1} = A + 520\,200 \] [NEWLINE] \[ 3 \cdot \frac{A \cdot 2{,}197}{1{,}69 + 1{,}3 + 1} = A + 520\,200 \] [NEWLINE] \[ 3 \cdot \frac{2{,}197A}{3{,}99} = A + 520\,200 \] [NEWLINE] \[ \frac{2{,}197A}{1{,}33}-A = 520\,200 \] [NEWLINE] \[ \frac{0{,}867A}{1{,}33} = 520\,200 |\cdot \frac{1{,}33}{0{,}867} \] [NEWLINE] \[ A = \frac{520\,200\cdot 1,33}{0{,}867} = 798\,000 \]
    Задание 16 ☆
    В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
    — каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;
    — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
    Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 520 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

17. В трапеции ABCD точка E — середина боковой стороны CD. На стороне AB взята точка K так, что прямые KC и AE параллельны. Отрезки KC и BE пересекаются в точке O. [NEWLINE] а) Докажите, что CO = KO. [NEWLINE] б) Найдите длину основания BC, если AD = 15, а площадь треугольника BCK составляет $\dfrac{4}{49}$ площади трапеции ABCD. [NEWLINE]

    [image:0:right]а) Продолжим прямую $AE$ до пересечения с прямой $BC:AE\cap BC=F$[IMAGENEWLINE] Докажем, что $\triangle AED=\triangle CEF:$[IMAGENEWLINE] $ED=CE$ $(E$ — середина $CD);$[IMAGENEWLINE] $\angle 6 = \angle 5$ как накрест лежащие углы при $BF || AD$ и $CD$ — секущей;[IMAGENEWLINE] $\angle 8 = \angle 7$ как вертикальные.[IMAGENEWLINE] Следовательно, равны по второму признаку равенства треугольников.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Рассмотрим $\triangle ABF$ и $\triangle KBC$:[IMAGENEWLINE] $\angle 1 = \angle 2,\angle3=\angle4$ как соответственные углы при $KC || AF.$[IMAGENEWLINE] Значит $\triangle KBC \sim \triangle ABF$[IMAGENEWLINE] Аналогично, $\triangle BKO \sim \triangle BAE,\triangle BCO \sim \triangle BFE$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Запишем отношения сторон для $\triangle BKO, \triangle BAE;\triangle BCO, \triangle BFE:$[IMAGENEWLINE] $\frac{AE}{KO}=\frac{AB}{KB}=\frac{BE}{OE};\frac{EF}{CO}=\frac{BF}{BC}=\frac{BE}{OE}$[IMAGENEWLINE] Отсюда следует, что $\frac{BE}{OE}=\frac{AE}{KO}=\frac{EF}{CO}$[IMAGENEWLINE] Так как $AE=EF \rightarrow KO=CO,$ чтд[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [image:1:right]б) $S_{ABCD}=S_{ABCE}+S_{AED}$[IMAGENEWLINE] Так как $\triangle AED=\triangle CEF$, то $S_{ABCD}=S_{ABF}=\frac{1}{2}BF\cdot EH$[IMAGENEWLINE] Так как $\triangle KBC \sim \triangle ABF,$ то $S_{BCK}=\frac{4}{49}S_{ABF}\Leftrightarrow$$\frac{S_{BCK}}{S_{ABF}}=\left(\frac{2}{7}\right)^2\rightarrow k=\frac{2}{7}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $S_{ABF}=S_{ABE}+S_{BEF},$ но $BE$ — медиана $\rightarrow S_{ABF}=2S_{BEF}$[IMAGENEWLINE] Аналогично, $S_{BCK}=2S_{BOC}\rightarrow 2S_{BOC}=\frac{4}{49}\cdot 2\cdot\frac{1}{2}BF\cdot EH=\frac{4}{49}BF\cdot EH$[IMAGENEWLINE] $S_{BOC}=\frac{1}{2}BC\cdot OL$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $BC\cdot OL=\frac{4}{49}(BC+15)\cdot EH$[IMAGENEWLINE] Зная $k=\frac{2}{7}$ для $\triangle BCK\sim \triangle ABF,$ получим $\frac{OL}{EH}=\frac{2}{7}\rightarrow OL=\frac{2}{7}EH.$[IMAGENEWLINE] $BC\cdot\frac{2}{7}EH=\frac{4}{49}(BC+15)\cdot EH$[IMAGENEWLINE] $\frac{2}{7}BC=\frac{4}{49}BC+15\cdot\frac{4}{49}\rightarrow BC=6$[IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD]6
    Задание 17 ☆
    В трапеции ABCD точка E — середина боковой стороны CD. На стороне AB взята точка K так, что прямые KC и AE параллельны. Отрезки KC и BE пересекаются в точке O.
    а) Докажите, что CO = KO.
    б) Найдите длину основания BC, если AD = 15, а площадь треугольника BCK составляет площади трапеции ABCD.

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

18. Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система [NEWLINE] \(\begin{cases} |x-a|+|y|=2 \\ y=\sqrt{4-x^2} \end{cases}\)[NEWLINE] имеет ровно одно решение.

    [BOLD]Рассмотрим[/BOLD] $y=\sqrt{4-x^2}:$[NEWLINE] \(\begin{cases} y=\sqrt{4-x^2} \\ y \geq 0 \end{cases}\)[NEWLINE] $y^2=4-x^2$[NEWLINE] $x^2+y^2=2^2 \Rightarrow$ окружность с центром $(0;0)$ и радиусом $R=2,$ ограниченная снизу $(y\geq0).$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Рассмотрим[/BOLD] $ |x-a|+|y|=2:$[NEWLINE] Раскроем модули для 4-х случаев:[NEWLINE] $1)$ \(\begin{cases} x-a \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)\(\begin{cases} x \geq a \\ y \geq 0 \end{cases}\)[NEWLINE] $y=-x+a+2$[NEWLINE] $2)$ \(\begin{cases} x-a \geq 0 \\ y \lt 0 \end{cases}\)\(\begin{cases} x \geq a \\ y \lt 0 \end{cases}\)[NEWLINE] $y=x-a-2$[NEWLINE] $3)$ \(\begin{cases} x-a \lt0 \\ y \geq 0 \end{cases}\)\(\begin{cases} x \lt a \\ y \geq 0 \end{cases}\)[NEWLINE] $y=x-a+2$[NEWLINE] $4)$ \(\begin{cases} x-a \lt0 \\ y \lt 0 \end{cases}\)\(\begin{cases} x \lt a \\ y \lt 0 \end{cases}\)[NEWLINE] $y=-x+a-2$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Графиком является перемещающийся по оси $Ox$ ромб (квадрат, в частности).[NEWLINE] [image:0][NEWLINE] Заметим, что случаи $I$ и $IV$ на графике получается при пересечении квадратом точек $(2;0), (-2;0)$ прямыми $y=x-a+2$ и $y=-x+a+2$ соответственно. Подставим эти точки в уравнения и найдём $a:$[NEWLINE] $I:$ $0=2-a+2\Rightarrow a=4$[NEWLINE] $IV.$ $0=-(-2)+a+2 \Rightarrow a=-4$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Случай $II$ — касание квадрата с окружностью левым верхним ребром, то есть с прямой $y=x-a+2:$[NEWLINE] \(\begin{cases} y=x-a+2 \\ x^2+y^2=4 \end{cases}\)[NEWLINE] $(x-a+2)^2=4-x^2$[NEWLINE] $2x^2+(-2a+4)x-4a+a^2=0$[NEWLINE] Требуем от дискриминанта равенство нулю для одного корня (касания):[NEWLINE] $D=(-2a+4)^2-4\cdot2(-4a+a^2)=-4a^2+16a+16.$[NEWLINE] $-4a^2+16a+16=0 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & a_1=2+2\sqrt{2} \\& a_2=2-2\sqrt{2} \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE] Заметим, что при $a_1$ окружность не существует, так как мы выяснили, что радиус окружности в параметре $a$ эквивалентен $a=4.$ Следовательно, $a=2-\sqrt{2}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Случай $III$ — касание квадрата с окружностью правым верхним ребром, то есть с прямой $y=-x+a+2:$[NEWLINE] \(\begin{cases} y=-x+a+2 \\ x^2+y^2=4 \end{cases}\)[NEWLINE] $(-x+a+2)^2=4-x^2$[NEWLINE] $2x^2+(-2a-4)x+4a+a^2=0$[NEWLINE] Требуем от дискриминанта равенство нулю для одного корня (касания):[NEWLINE] $D=(2a+4)^2-4\cdot2(4a+a^2)=-4a^2-16a+16.$[NEWLINE] $-4a^2-16a+16=0 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned} & a_3=-2-2\sqrt{2} \\& a_4=-2+2\sqrt{2} \\\end{aligned}\right.$[NEWLINE] Заметим, что при $a_3$ окружность не существует, так как мы выяснили, что радиус окружности в параметре $a$ эквивалентен $a=4.$[NEWLINE] Следовательно, $a=-2+\sqrt{2}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Объединяем случаи: $a \in [-4;2-2\sqrt{2})\cup(-2+2\sqrt{2};4]$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a \in [-4;2-2\sqrt{2})\cup(-2+2\sqrt{2};4]$
    Задание 18 ☆
    Найдите все значения параметра , при каждом из которых система
    
    имеет ровно одно решение.

    Самооценка баллов будет доступна после нажатия "Сдать работу"

Ниже (после самооценки) вам будет предложено сохранить вариант