На заводе имеется генератор с ЭДС $\epsilon = 50$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: $I = \frac{ε}{r + R}$. Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: $P = I^2R$. Какова максимальная тепловая мощность $P$, которая может быть выделена нагрузкой?
Нам нужно найти максимальное значение мощности $P$ в зависимости от сопротивления нагрузки $R$. Для этого выразим $P$ как функцию от $R$ и исследуем её на экстремум.[NEWLINE]
[NEWLINE]
Запишем формулу для мощности:[NEWLINE]
$P = I^2 R = \left(\frac{\varepsilon}{r+R}\right)^2 \cdot R$[NEWLINE]
[NEWLINE]
Подставим известные значения $\varepsilon = 50$ В и $r = 1$ Ом:[NEWLINE]
$P(R) = \left(\frac{50}{1+R}\right)^2 \cdot R = \frac{2500R}{(1+R)^2}$[NEWLINE]
[NEWLINE]
Чтобы найти максимальное значение мощности, нужно найти производную $P'(R)$ и приравнять её к нулю. Это необходимо, потому что в точке максимума функции её производная равна нулю (функция перестаёт возрастать и начинает убывать).[NEWLINE]
[NEWLINE]
Используем формулу производной дроби:[NEWLINE]
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$[NEWLINE]
[NEWLINE]
где $u = 2500R$, $v = (1+R)^2$[NEWLINE]
[NEWLINE]
Найдём производные:[NEWLINE]
$u' = 2500$[NEWLINE]
$v' = 2(1+R)$ (по правилу дифференцирования сложной функции)[NEWLINE]
[NEWLINE]
Подставим в формулу:[NEWLINE]
$P'(R) = \frac{2500(1+R)^2 - 2500R \cdot 2(1+R)}{(1+R)^4}$[NEWLINE]
$P'(R) = \frac{2500(1+R)[(1+R) - 2R]}{(1+R)^4}$[NEWLINE]
$P'(R) = \frac{2500(1+R)(1-R)}{(1+R)^4}$[NEWLINE]
$P'(R) = \frac{2500(1-R)}{(1+R)^3}$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Приравняем производную к нулю:[NEWLINE]
$\frac{2500(1-R)}{(1+R)^3} = 0$[NEWLINE]
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (а знаменатель не равен нулю):[NEWLINE]
$2500(1 - R) = 0$[NEWLINE]
$1 - R = 0$[NEWLINE]
$R = 1$ Ом[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Проверим, что это точка максимума, исследовав знак производной:[NEWLINE]
При $R < 1$: числитель $2500(1-R) > 0$, знаменатель $(1+R)^3 > 0$, поэтому $P'(R) > 0$ (функция возрастает)[NEWLINE]
При $R > 1$: числитель $2500(1-R) < 0$, знаменатель $(1+R)^3 > 0$, поэтому $P'(R) < 0$ (функция убывает)[NEWLINE]
[NEWLINE]
Следовательно, $R = 1$ Ом — точка максимума.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Найдём максимальную мощность, подставив $R = 1$ в исходную формулу:[NEWLINE]
$P_{max} = \frac{2500 \cdot 1}{(1+1)^2} = \frac{2500}{4} = 625$ Вт[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] 625
На заводе имеется генератор с ЭДС В и внутренним сопротивлением Ом. Инженер подключает к генератору нагрузку, используя реостат, чтобы установить сопротивление нагрузки R (в омах). Сила тока в цепи (в амперах) определяется законом Ома: . Тепловая мощность (в ваттах), выделяемая в нагрузке, может быть рассчитана по формуле Джоуля — Ленца: . Какова максимальная тепловая мощность , которая может быть выделена нагрузкой?
Решение:
Нам нужно найти максимальное значение мощности в зависимости от сопротивления нагрузки . Для этого выразим как функцию от и исследуем её на экстремум.
Запишем формулу для мощности:
Подставим известные значения В и Ом:
Чтобы найти максимальное значение мощности, нужно найти производную и приравнять её к нулю. Это необходимо, потому что в точке максимума функции её производная равна нулю (функция перестаёт возрастать и начинает убывать).
Используем формулу производной дроби:
где ,
Найдём производные:
(по правилу дифференцирования сложной функции)
Подставим в формулу:
Приравняем производную к нулю:
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю (а знаменатель не равен нулю):
Ом
Проверим, что это точка максимума, исследовав знак производной:
При , знаменатель , поэтому (функция возрастает)
При : числитель , поэтому (функция убывает)
Следовательно, Ом — точка максимума.
Найдём максимальную мощность, подставив в исходную формулу:
Вт
Ответ: 625
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день