Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой $A = k\theta_0 \cdot \frac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2 + n^2\tau^2T^2}},$ где $k = 0,91$ — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, $\theta_0 = 9°$ — угол наибольшего волнового склона, $T = 14,7$ с — период свободных качаний корабля на тихой воде, $\tau$ — период волны (в секундах), $n = 0,0792$ — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.
Нам нужно найти значение $\tau$, при котором амплитуда $A$ достигает максимального значения. Для этого необходимо исследовать функцию $A(\tau)$ на экстремум с помощью производной.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Так как $A > 0$ (амплитуда всегда положительна), то максимумы $A$ и $A^2$ достигаются в одной и той же точке. Это упрощает вычисления, так как квадрат функции не содержит квадратного корня.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Положим $x = \tau^2$, где $x > 0$ (период волны положителен).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Достаточно исследовать на экстремум функцию:[NEWLINE] $A^2 = (k\theta_0)^2 f(x)$, где $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + (n-2)T^2x + T^4}$ при $x > 0$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Здесь $(k\theta_0)^2$ — положительная константа, поэтому максимум $A^2$ достигается там же, где максимум $f(x)$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Знаменатель при $x > 0$ положителен (это сумма положительных слагаемых при малых $n$). Найдём производную $f'(x)$, используя формулу производной дроби $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] где $u = x^2$, $v = x^2 + (n-2)T^2x + T^4$[NEWLINE] $u' = 2x$[NEWLINE] $v' = 2x + (n-2)T^2$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $f'(x) = \frac{2x(x^2 + (n-2)T^2x + T^4) - x^2(2x + (n-2)T^2)}{(x^2 + (n-2)T^2x + T^4)^2}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Раскроем скобки в числителе:[NEWLINE] $2x^3 + 2(n-2)T^2x^2 + 2T^4x - 2x^3 - (n-2)T^2x^2$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Приведём подобные слагаемые:[NEWLINE] $(n-2)T^2x^2 + 2T^4x = T^2x[(n-2)x + 2T^2] = T^2x[2T^2 - (2-n)x]$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] После упрощения получаем:[NEWLINE] $f'(x) = \frac{T^2x(2T^2 - (2-n)x)}{(x^2 + (n-2)T^2x + T^4)^2}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] В области определения ($x > 0$) множители $T^2x$ и знаменатель положительны, поэтому знак производной определяется выражением $2T^2 - (2-n)x$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Приравняем производную к нулю:[NEWLINE] $f'(x) = 0$: $2T^2 - (2-n)x = 0$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Выразим $x$:[NEWLINE] $(2-n)x = 2T^2$[NEWLINE] $x_0 = \frac{2T^2}{2-n} = \frac{T^2}{1-\frac{n}{2}}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Исследуем знак производной:[NEWLINE] Так как $n = 0,0792 < 2$, то:[NEWLINE] При $0 < x < x_0$: $f'(x) > 0$ (функция возрастает)[NEWLINE] При $x > x_0$: $f'(x) < 0$ (функция убывает)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Следовательно, $x_0$ — точка максимума функции $f$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Теперь найдём $\tau$:[NEWLINE] $\tau = \sqrt{x_0} = \frac{T}{\sqrt{1-\frac{n}{2}}}$[NEWLINE] [NEWLINE] Подставим значения $T = 14,7$ и $n = 0,0792$:[NEWLINE] $\tau = \frac{14,7}{\sqrt{1-\frac{0,0792}{2}}} = \frac{14,7}{\sqrt{1-0,0396}} = \frac{14,7}{\sqrt{0,9604}}$[NEWLINE] $\tau = \frac{14,7}{0,98} = 15$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 15
Задание 17, (№1028 в банке заданий)
Амплитуда вынужденных колебаний корабля при качке на волнении выражается формулой A = k\theta_0 \cdot \frac{\tau^2}{\sqrt{(T^2-\tau^2)^2 + n^2\tau^2T^2}}, где k = 0,91 — коэффициент, зависящий от отношения ширины корабля к длине волны, \theta_0 = 9° — угол наибольшего волнового склона, T = 14,7 с — период свободных качаний корабля на тихой воде, \tau — период волны (в секундах), n = 0,0792 — коэффициент, зависящий от величины сопротивления воды. При каком периоде волны амплитуда вынужденных колебаний корабля будет наибольшей? Ответ дайте в секундах.

Решение:

Нам нужно найти значение \tau , при котором амплитуда A достигает максимального значения. Для этого необходимо исследовать функцию A(\tau) на экстремум с помощью производной.
Так как A \gt 0 (амплитуда всегда положительна), то максимумы A и A^2 достигаются в одной и той же точке. Это упрощает вычисления, так как квадрат функции не содержит квадратного корня.
Положим x = \tau^2 , где x \gt 0 (период волны положителен).
Достаточно исследовать на экстремум функцию:
A^2 = (k\theta_0)^2 f(x) , где f(x) = \frac{x^2}{x^2 + (n-2)T^2x + T^4} при x \gt 0 .
Здесь (k\theta_0)^2 — положительная константа, поэтому максимум A^2 достигается там же, где максимум f(x) .
Знаменатель при x \gt 0 положителен (это сумма положительных слагаемых при малых n ). Найдём производную f'(x) , используя формулу производной дроби \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} :
где u = x^2 , v = x^2 + (n-2)T^2x + T^4
u' = 2x
v' = 2x + (n-2)T^2
f'(x) = \frac{2x(x^2 + (n-2)T^2x + T^4) - x^2(2x + (n-2)T^2)}{(x^2 + (n-2)T^2x + T^4)^2}
Раскроем скобки в числителе:
2x^3 + 2(n-2)T^2x^2 + 2T^4x - 2x^3 - (n-2)T^2x^2
Приведём подобные слагаемые:
(n-2)T^2x^2 + 2T^4x = T^2x[(n-2)x + 2T^2] = T^2x[2T^2 - (2-n)x]
После упрощения получаем:
f'(x) = \frac{T^2x(2T^2 - (2-n)x)}{(x^2 + (n-2)T^2x + T^4)^2}
В области определения ( x \gt 0 ) множители T^2x и знаменатель положительны, поэтому знак производной определяется выражением 2T^2 - (2-n)x .
Приравняем производную к нулю:
f'(x) = 0 : 2T^2 - (2-n)x = 0
Выразим x :
(2-n)x = 2T^2
x_0 = \frac{2T^2}{2-n} = \frac{T^2}{1-\frac{n}{2}}
Исследуем знак производной:
Так как n = 0,0792 0 (функция возрастает)
При x \gt x_0 : f'(x) \lt 0 (функция убывает)
Следовательно, x_0 — точка максимума функции f .
Теперь найдём \tau :
\tau = \sqrt{x_0} = \frac{T}{\sqrt{1-\frac{n}{2}}}
Подставим значения T = 14,7 и n = 0,0792 :
\tau = \frac{14,7}{\sqrt{1-\frac{0,0792}{2}}} = \frac{14,7}{\sqrt{1-0,0396}} = \frac{14,7}{\sqrt{0,9604}}
\tau = \frac{14,7}{0,98} = 15
Ответ: 15

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com