Вода вытекает из отверстия в стенке бака. Высота бака $H = 4$ м. Отверстие расположено на высоте $h$ от земли. Дальность струи воды определяется формулой $L = 2\sqrt{h(H-h)}$. На какой высоте $h$ следует расположить отверстие, чтобы дальность струи была максимальной? Ответ дайте в метрах.
Нам нужно найти значение $h$, при котором дальность струи $L$ максимальна. Для этого исследуем функцию $L(h)$ на экстремум.[NEWLINE]
Подставим известное значение $H = 4$:[NEWLINE]
$L(h) = 2\sqrt{h(4-h)} = 2\sqrt{4h - h^2}$[NEWLINE]
Так как $L > 0$ (дальность положительна) и коэффициент 2 — константа, максимум $L$ достигается там же, где максимум подкоренного выражения. Это упрощает вычисления.[NEWLINE]
Исследуем функцию:[NEWLINE]
$f(h) = 4h - h^2$[NEWLINE]
Найдём производную $f'(h)$ и приравняем к нулю:[NEWLINE]
$f'(h) = 4 - 2h$[NEWLINE]
Приравняем к нулю:[NEWLINE]
$4 - 2h = 0$[NEWLINE]
Решим уравнение:[NEWLINE]
$2h = 4$[NEWLINE]
$h = 2$ м[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Проверим, что это точка максимума, используя вторую производную:[NEWLINE]
$f''(h) = -2$[NEWLINE]
Так как $f''(h) = -2 < 0$ для всех $h$, функция $f(h)$ — парабола, ветви которой направлены вниз, и найденная точка является точкой максимума.[NEWLINE]
Также проверим, что $h = 2$ попадает в допустимый диапазон: $0 < h < H = 4$. Условие выполнено.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Найдём максимальную дальность:[NEWLINE]
$L_{max} = 2\sqrt{2(4-2)} = 2\sqrt{2 \cdot 2} = 2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$ м[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] 2
Вода вытекает из отверстия в стенке бака. Высота бака м. Отверстие расположено на высоте от земли. Дальность струи воды определяется формулой . На какой высоте следует расположить отверстие, чтобы дальность струи была максимальной? Ответ дайте в метрах.
Решение:
Нам нужно найти значение , при котором дальность струи максимальна. Для этого исследуем функцию на экстремум.
Подставим известное значение :
Так как (дальность положительна) и коэффициент 2 — константа, максимум достигается там же, где максимум подкоренного выражения. Это упрощает вычисления.
Исследуем функцию:
Найдём производную и приравняем к нулю:
Приравняем к нулю:
Решим уравнение:
м
Проверим, что это точка максимума, используя вторую производную:
Так как для всех , функция — парабола, ветви которой направлены вниз, и найденная точка является точкой максимума.
Также проверим, что попадает в допустимый диапазон: . Условие выполнено.
Найдём максимальную дальность:
м
Ответ: 2
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день