На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше —120. [NEWLINE]
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно
удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное
на синей карточке, равно количеству красных карточек. [NEWLINE]
а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек? [NEWLINE]
б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих
карточек на столе? [NEWLINE]
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
Пусть $b$ — количество синих карточек, $r$ — количество красных. Все числа на карточках больше $-120$. Наибольшее число на красной карточке равно $2b$, наибольшее число на синей карточке равно $r$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
На синих карточках — $b$ различных чисел, кратных $5$, из интервала $(-120;\, r]$. Количество таких чисел равно $\dfrac{r+120}{5}$, поэтому $b \leq \dfrac{r+120}{5}$, откуда $r \geq 5b - 120$. [NEWLINE]
На красных карточках — $r$ различных чётных чисел из интервала $(-120;\, 2b]$. Количество таких чисел равно $\dfrac{2b+120}{2} = b+60$, поэтому $r \leq b+60$. [NEWLINE]
Итак, необходимые условия: $5b - 120 \leq r \leq b + 60$.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]а) Может ли быть ровно $6$ карточек?[/BOLD] [NEWLINE]
$b + r = 6$, $b \geq 1$, $r \geq 1$. Возьмём $b = 1$, $r = 5$. [NEWLINE]
Проверка: $5 \cdot 1 - 120 = -115 \leq 5 \leq 1 + 60 = 61$. ✓ [NEWLINE]
Синяя карточка: $\{5\}$ (наибольшее $= r = 5$, кратно $5$, $> -120$). [NEWLINE]
Красные карточки: $\{-118,\, -116,\, -114,\, -112,\, 2\}$ (наибольшее $= 2b = 2$, все чётные, $> -120$). ✓ [NEWLINE]
Ответ: да, может.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
[BOLD]б) Может ли красных быть на $90$ больше, чем синих?[/BOLD] [NEWLINE]
$r = b + 90$. Подставляем в $r \leq b + 60$: $b + 90 \leq b + 60$, откуда $90 \leq 60$ — противоречие. [NEWLINE]
Ответ: нет, не может.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
в) Наибольшее количество карточек. [NEWLINE]
Максимизируем $b + r$ при условиях $r \geq 5b - 120$ и $r \leq b + 60$. [NEWLINE]
Берём $r = b + 60$ (максимальное возможное). Тогда $b + r = 2b + 60$. [NEWLINE]
Из $r \geq 5b - 120$: $b + 60 \geq 5b - 120 \Rightarrow 4b \leq 180 \Rightarrow b \leq 45$. [NEWLINE]
При $b = 45$: $r = 105$, $b + r = 150$. [NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Проверка: синие — числа $-115, -110, \ldots, 105$ (ровно $45$ штук, кратных $5$, наибольшее $= 105 = r$); красные — числа $-118, -116, \ldots, 90$ (ровно $105$ чётных, наибольшее $= 90 = 2b$). ✓ [NEWLINE]
Ответ: $150$ карточек.
На столе лежит некоторое количество карточек, часть из которых синего цвета, а остальные красного (есть хотя бы по одной карточке каждого цвета). На каждой карточке написано целое число. На карточках синего цвета написаны различные числа, делящиеся на 5, а на карточках красного цвета написаны различные чётные числа (при этом некоторые числа могут быть написаны дважды: один раз на синей карточке и один раз на красной карточке). Все числа на карточках больше —120.
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
Оказалось, что наибольшее число, написанное на красной карточке, равно удвоенному количеству синих карточек, а наибольшее число, написанное на синей карточке, равно количеству красных карточек.
а) Может ли на столе лежать ровно шесть карточек?
б) Может ли число красных карточек на столе быть на 90 больше числа синих карточек на столе?
в) Какое наибольшее количество карточек может лежать на столе?
Решение:
Пусть — количество синих карточек, — количество красных. Все числа на карточках больше . Наибольшее число на красной карточке равно , наибольшее число на синей карточке равно .
На синих карточках — различных чисел, кратных , из интервала . Количество таких чисел равно , поэтому , откуда .
На красных карточках — различных чётных чисел из интервала . Количество таких чисел равно , поэтому .
Итак, необходимые условия: .
а) Может ли быть ровно $6$ карточек?
, , . Возьмём , .
Проверка: . ✓
Синяя карточка: (наибольшее , кратно , ).
Красные карточки: (наибольшее , все чётные, ). ✓
Ответ: да, может.
б) Может ли красных быть на $90$ больше, чем синих?
. Подставляем в : , откуда — противоречие.
Ответ: нет, не может.
в) Наибольшее количество карточек.
Максимизируем при условиях и .
Берём (максимальное возможное). Тогда .
Из : .
При : , .
Проверка: синие — числа (ровно штук, кратных , наибольшее ); красные — числа (ровно чётных, наибольшее ). ✓
Ответ: карточек.
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день