$16$ монет по $2$ рубля и $29$ монет по $5$ рублей. Максимальная сумма: $16 \cdot 2 + 29 \cdot 5 = 177$ рублей.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] а) Можно ли набрать $175$ рублей? [NEWLINE] $2a + 5b = 175$, $0 \leq a \leq 16$, $0 \leq b \leq 29$. [NEWLINE] $175$ нечётное $\Rightarrow$ $b$ нечётное. $175 - 5b \leq 32 \Rightarrow b \geq 28{,}6 \Rightarrow b = 29$. [NEWLINE] $2a = 175 - 145 = 30 \Rightarrow a = 15 \leq 16$. ✓ [NEWLINE] [BOLD]Ответ: да, можно ($15$ монет по $2$ р. и $29$ монет по $5$ р.).[/BOLD][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] б) Можно ли набрать $176$ рублей? [NEWLINE] $2a + 5b = 176$. $176$ чётное $\Rightarrow$ $5b$ чётное $\Rightarrow$ $b$ чётное. [NEWLINE] $176 - 5b \leq 32 \Rightarrow 5b \geq 144 \Rightarrow b \geq 28{,}8$. Так как $b$ чётное и $b \leq 29$, решений нет. [NEWLINE] [BOLD]Ответ: нет, нельзя.[/BOLD][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] в) Минимальное количество монет по $1$ рублю, чтобы набрать любую сумму от $1$ до $180$ включительно. [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Без монет по $1$ рублю максимальная сумма $= 177 < 180$, поэтому хотя бы $3$ монеты нужны (так как $180 - 177 = 3$). [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Покажем, что $3$ монеты по $1$ рублю достаточны. Нужно для каждого $S \in \{1, \ldots, 180\}$ найти $c \in \{0,1,2,3\}$, $a \in \{0,\ldots,16\}$, $b \in \{0,\ldots,29\}$ такие, что $S = c + 2a + 5b$. [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] - $S \in \{1, 2, 3\}$: берём $c = S$, $a = b = 0$. ✓ [NEWLINE] - $S \in \{4, \ldots, 33\}$: $S - c$ чётное, $b = 0$, $a = (S-c)/2 \leq 16$. ✓ [NEWLINE] - $S \in \{34, \ldots, 145\}$: длина интервала допустимых $b$ равна $32/5 = 6{,}4$, поэтому всегда найдётся подходящее $b$ нужной чётности. ✓ [NEWLINE] - $S \in \{146, \ldots, 172\}$: $b = 28$, $a = (S - c - 140)/2 \in [3, 16]$. ✓ [NEWLINE] - $S \in \{173, \ldots, 180\}$: перебором проверяем, что для каждого $S$ найдётся комбинация. Например: [NEWLINE] - $S = 174$: $c = 2, a = 16, b = 28$ ($2 + 32 + 140 = 174$). ✓ [NEWLINE] - $S = 175$: $c = 1, a = 15, b = 29$ ($1 + 30 + 145 = 175$). ✓ [NEWLINE] - $S = 176$: $c = 1, a = 15, b = 29$ ($1 + 30 + 145 = 176$). ✓ [NEWLINE] - $S = 177$: $c = 0, a = 16, b = 29$ ($0 + 32 + 145 = 177$). ✓ [NEWLINE] - $S = 178$: $c = 1, a = 16, b = 29$ ($1 + 32 + 145 = 178$). ✓ [NEWLINE] - $S = 179$: $c = 2, a = 16, b = 29$ ($2 + 32 + 145 = 179$). ✓ [NEWLINE] - $S = 180$: $c = 3, a = 16, b = 29$ ($3 + 32 + 145 = 180$). ✓ [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [BOLD]Ответ: $3$ монеты по $1$ рублю.[/BOLD]