В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость ɑ перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K. [NEWLINE]
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.[NEWLINE]
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью ɑ, если известно, что BK=1, KC=3.
[image:0:left] а) Рассмотрим \(\triangle ABN:\)[IMAGENEWLINE]
По условию, треугольники все равносторонние, так как \(ABCD\) — правильный тетраэдр. \(MN\) делит \(AB\) пополам, а значит это медиана. Значит \(MN\) — высота и биссектриса (по свойству равностороннего треугольника. Следовательно, \(MN\perp AB.\)[IMAGENEWLINE]
Теперь рассмотрим \(\triangle MCD:\)[IMAGENEWLINE]
Данный треугольник является равнобедренным, так как точки \(C\) и \(D\) равноудалены от \(M,\) а значит \(CM=DM \rightarrow \triangle MCD\) — равнобедренный. \(MN\) — в нем тоже медиана, проведенная к основанию, а значит и высота, и биссектриса. Следовательно, \(MN \perp CD,\) что и требовалось доказать. [IMAGENEWLINE]
[image:1:left] б) \(KLPQ\) — искомая плоскость \(\alpha.\) Докажем, что \(KLPQ\) — прямоугольник:[IMAGENEWLINE]
Вся плоскость этого четырехугольника перпендикулярна \(MN.\) Прямая называется [BOLD]перпендикулярной к плоскости,[/BOLD] если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. [IMAGENEWLINE]
Значит \(MN\perp LP,\) а т.к. ещё и \(MN\perp CD\) (см. п. а), то \(LP||CD.\) Абсолютно аналогично доказывается \(KL|| AB.\) Из этого следует (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой), что \(LP\perp KL \rightarrow KLPQ \) — прямоугольник, чтд.[IMAGENEWLINE]
Тогда \(S_{KLPQ}=LP\cdot KL.\) Найдем их:[IMAGENEWLINE]
Так как \(ABCD\) — правильный тетраэдр, то все стороны равны, а значит все грани — равносторонние треугольники.[IMAGENEWLINE]
Из условия известно, что \(BK=1,\) \(KC=3.\) Тогда все стороны равны по \(4.\) \(KL||AB,\) а значит отсекается тоже равносторонний треугольник \(\rightarrow KL=KC=LC=3,\) а \(AL=BK=1=AP=LP.\) Тогда:[IMAGENEWLINE]
\(S_{KLPQ}=3\cdot1=3.\)[IMAGENEWLINE]
[BOLD]Ответ: 3.[/BOLD]
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость ɑ перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью ɑ, если известно, что BK=1, KC=3.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью ɑ, если известно, что BK=1, KC=3.
Решение:
а) Рассмотрим
По условию, треугольники все равносторонние, так как — правильный тетраэдр. делит пополам, а значит это медиана. Значит — высота и биссектриса (по свойству равностороннего треугольника. Следовательно,
Теперь рассмотрим
Данный треугольник является равнобедренным, так как точки и равноудалены от а значит — равнобедренный. — в нем тоже медиана, проведенная к основанию, а значит и высота, и биссектриса. Следовательно, что и требовалось доказать.
По условию, треугольники все равносторонние, так как — правильный тетраэдр. делит пополам, а значит это медиана. Значит — высота и биссектриса (по свойству равностороннего треугольника. Следовательно,
Теперь рассмотрим
Данный треугольник является равнобедренным, так как точки и равноудалены от а значит — равнобедренный. — в нем тоже медиана, проведенная к основанию, а значит и высота, и биссектриса. Следовательно, что и требовалось доказать.
б) — искомая плоскость Докажем, что — прямоугольник:
Вся плоскость этого четырехугольника перпендикулярна Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Значит а т.к. ещё и (см. п. а), то Абсолютно аналогично доказывается Из этого следует (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой), что — прямоугольник, чтд.
Тогда Найдем их:
Так как — правильный тетраэдр, то все стороны равны, а значит все грани — равносторонние треугольники.
Из условия известно, что Тогда все стороны равны по а значит отсекается тоже равносторонний треугольник а Тогда:
Ответ: 3.
Вся плоскость этого четырехугольника перпендикулярна Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Значит а т.к. ещё и (см. п. а), то Абсолютно аналогично доказывается Из этого следует (по лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой), что — прямоугольник, чтд.
Тогда Найдем их:
Так как — правильный тетраэдр, то все стороны равны, а значит все грани — равносторонние треугольники.
Из условия известно, что Тогда все стороны равны по а значит отсекается тоже равносторонний треугольник а Тогда:
Ответ: 3.
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день