[image:0:left] а) Так как \(SABCD\) это правильная четырёхугольная пирамида, то в основании — квадрат, а боковые грани — равнобедренные треугольники. Следовательно, \(SC=SD,\) \(AB||CD \rightarrow AB||(SDC)\) (по теореме о параллельности прямой и плоскости). [IMAGENEWLINE] А значит \(AB\) будет параллельна любой прямой в плоскости \((SDC) \rightarrow MN||CD.\) Следовательно, \(\triangle SMN \sim \triangle SCD\) (по двум соответственным углам или по теореме Фалеса, например).[IMAGENEWLINE] Запишем подобие для двух данных треугольников:[IMAGENEWLINE] Пусть \(MN=x,\) тогда \(AB=CD=5x:\)[IMAGENEWLINE] \(\frac{SM}{SC}=\frac{SN}{SD}=\frac{MN}{CD}=\frac{x}{5x}=\frac{1}{5}.\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Пусть \(SM=y \rightarrow SC=5y.\) Тогда \(CM=SC-SM=5y-y=4y \rightarrow \frac{SM}{CM}=\frac{1}{4}.\) Аналогично, \(\frac{SN}{DN}=\frac{1}{4},\) чтд.[IMAGENEWLINE] б) [image:1:left] Проведем угол между плоскостями по правилу построения двугранных углов. \(\angle EFG\) — искомый угол.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Проведем \(SO\) как высоту пирамиды. \(SABCD\) — правильная пирамида, а значит \(SO\) — делит пополам \(FE \rightarrow FO=2,5x.\) [IMAGENEWLINE] Проведем \(GH||SO.\) Тогда искомым косинусом угла будет \(\cos\angle HFG=\frac{FH}{FG.}\)[IMAGENEWLINE] По теореме Фалеса, \(\frac{OH}{HE}=\frac{SG}{GE}=\frac{1}{4}.\) Так как \(OE=FO,\) то \(OH=0,5x \rightarrow FH=3x.\)[IMAGENEWLINE] [image:2:left]Теперь \(FG\) найдем, рассмотрев \(ANMB\) — равнобедренную трапецию (так как \(AB||MN\) и так как \(BM=AN \) по условию). \(FG\) — высота равнобедренной трапеции. Проведем \(NK=GF.\) Так как \(AB=5MN=5x,\) то \(AK=\frac{5x-x}{2}=2x.\)[IMAGENEWLINE] Тогда \(NK=\sqrt{25x^2-4x^2}=x\sqrt{21}.\)[IMAGENEWLINE] Тогда \(\cos\angle HFG=\frac{3x}{x\sqrt{21}}=\frac{3\sqrt{21}}{21}=\frac{\sqrt{21}}{7}.\)[IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD]\(\cos\angle HFG=\frac{\sqrt{21}}{7}.\)