В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM=BP, AB=BQ.[NEWLINE] а) Докажите, что BM=PQ.[NEWLINE] б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM=BP=8, AB=BQ=10.
[image:0:left] а) Проведем \(QH\perp BP.\) \(QH||BC,\) так как \(BP\perp BC.\) Тогда \(\angle1=\angle2 \) как накрест лежащие углы.[IMAGENEWLINE] \(\angle A=\angle C \rightarrow \angle1=\angle2=\angle3.\)[IMAGENEWLINE] Заметим, что \( \angle5=90^\circ=\angle6, \angle1=\angle3,\) а также \(\angle 4=\angle A\) и \(AB=BQ, AM=BP \rightarrow \triangle ABM=\triangle BPQ\) (по двум равным сторонам и равному углу между ними).[IMAGENEWLINE] В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, а значит \(BM=PQ\) как стороны лежащие напротив \(\angle A=\angle 4\), что и требовалось доказать.[IMAGENEWLINE] [image:1:left]б) Пусть \(S_{APQ}=\frac{1}{2}AP\cdot PH.\)[IMAGENEWLINE] \(\triangle BAP=\triangle BHQ\) по стороне \(AB=BQ\) и двум прилежащим к ней углам \(\angle1=\angle3,\angle4=\angle A.\)[IMAGENEWLINE] Значит \(AP=BH.\)[IMAGENEWLINE] Из теоремы Пифагора в \(\triangle ABP: AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=6=BH.\)[IMAGENEWLINE] Так как \(BP=BH+PH,\) то \(PH=BP-BH=8-6=2.\)[IMAGENEWLINE] Следовательно, \(S_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2=6.\)[IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] 6

Задание 17, №317 (В банке заданий)

В параллелограмме ABCD с острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причём точка P лежит на стороне AD, а точка Q — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM=BP, AB=BQ.
а) Докажите, что BM=PQ.
б) Найдите площадь треугольника APQ, если AM=BP=8, AB=BQ=10.

Решение:

Solution image 0
а) Проведем QH\perp BP. QH||BC, так как BP\perp BC. Тогда \angle1=\angle2 как накрест лежащие углы.
\angle A=\angle C \rightarrow \angle1=\angle2=\angle3.
Заметим, что \angle5=90^\circ=\angle6, \angle1=\angle3, а также \angle 4=\angle A и AB=BQ, AM=BP \rightarrow \triangle ABM=\triangle BPQ (по двум равным сторонам и равному углу между ними).
В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы, а значит BM=PQ как стороны лежащие напротив \angle A=\angle 4 , что и требовалось доказать.
Solution image 1
б) Пусть S_{APQ}=\frac{1}{2}AP\cdot PH.
\triangle BAP=\triangle BHQ по стороне AB=BQ и двум прилежащим к ней углам \angle1=\angle3,\angle4=\angle A.
Значит AP=BH.
Из теоремы Пифагора в \triangle ABP: AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=6=BH.
Так как BP=BH+PH, то PH=BP-BH=8-6=2.
Следовательно, S_{APQ}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2=6.
Ответ: 6

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com