Пусть \(y=|x-a^2|+|x+1|:\)[NEWLINE] \(y^2-7y+4a^2+4=0.\)[NEWLINE] Проанализируем заменёнку (найдем нули его модулей):[NEWLINE] [TWO-COLUMNS]\(x-a^2=0\)[NEWLINE]\(x=a^2\)[NEWLINE]Отрицательные значения при \(x \lt a^2\)[NEWLINE][COLUMN-BREAK]\(x+1=0\)[NEWLINE]\(x=-1\)[NEWLINE]Отрицательные значения при \(x \lt -1\)[/TWO-COLUMNS] Заметим, что \(a^2\geq0,\) поэтому \(x=a^2\) будет всегда правее на числовой прямой, чем \(x=-1.\) С этим знанием, нанесем на числовую прямую эти числа и расставим знаки для каждого из модулей. [image:0:left] Для каждого промежутка теперь раскроем модули:[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} y=-(x-a^2)-(x+1), \quad x\lt-1 \\ y=-(x-a^2)+x+1, \quad -1 \leq x \leq a^2\\ y=x-a^2+x+1, \quad x \gt a^2 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} y=-2x+a-1, \quad x\lt-1 \\ y=a^2+1, \quad -1 \leq x \leq a^2\\ y=2x-a^2+1, \quad x \gt a^2 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] Эскизно нанесем множество решений этой системы со значениями прямой \(y=a:\)[NEWLINE] [image:1:left] Перемещая прямую \(y=a\) снизу вверх и получаем, что при \(\lt a^2+1\) нет решений;[IMAGENEWLINE] при \(=a^2+1\) — бесконечное множество решений (они наложились);[IMAGENEWLINE] при \(\gt a^2+1\) — 2 решения.[IMAGENEWLINE] [BOLD]Теперь самое сложное — отобрать нужные решения.[/BOLD][IMAGENEWLINE] Во-первых, мы видим, что мы уже сказали, что наша заменёнка может иметь 2 решения и более, либо не иметь их вовсе. Учитывая, что наше искомое уравнение — квадратичное, то мы требуем от него лишь одно решение (то есть \(D=0\)). НО! Не будем забывать, что оно В ПЕРВУЮ ОЧЕРЕДЬ КВАДРАТИЧНОЕ, а модули работают как бы НА НЕГО.[IMAGENEWLINE] То есть у квадратичного вообще-то все равно может быть два решения, а вот у заменёнки при этих значениях какие-то корни могут как бы "выпадать" из нужного интервала для решения. [IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]ВЫВОД:[/BOLD] возможны две ситуации:[IMAGENEWLINE] 1) Квадратичное имеет одно решение при \(y_0 \gt a^2+1,\) то есть в этом случае у заменёнки будет два решения;[IMAGENEWLINE] 2) Квадратичное имеет два решения такие, что \(y_1 \lt a^2+1 \lt y_2,\) то есть у заменёнки будет два решения, но один из корней выпадает из нужного нам интервала \(\gt a^2+1.\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] 1) Для начала решим самое простое — когда \(D=0\) у квадратичной функции:[IMAGENEWLINE] \(y^2-7y+4a^2+4=0.\)[IMAGENEWLINE] \(D=49-4(4a^2+4)=\)\(49-16a^2-16=33-16a^2\)[IMAGENEWLINE] \(33-16a^2=0\)[IMAGENEWLINE] \(a=\pm\frac{\sqrt{33}}{4}\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] 2) Изобразим все вышеперечисленное во втором пункте для нашей квадратичной функции \(f(y)=y^2-7y+4a^2+4:\)[NEWLINE] [image:2:left] То есть решения должны быть в нижней полуплоскости, потому что \(f(a^2+1) \lt 0\) (см. рис.)[IMAGENEWLINE] Тогда получается, что решение сводится к системе:[IMAGENEWLINE] \(\begin{cases} f(y)=y^2-7y+4a^2+4 \\ f(a^2+1) \lt 0 \end{cases}\)[IMAGENEWLINE] \((a^2+1)^2-7(a^2+1)+4a^2+4 \lt 0\)[IMAGENEWLINE] \((a^2+1)^2-7(a^2+1)+4(a^2+1) \lt 0\)[IMAGENEWLINE] \((a^2+1)(a^2-2) \lt 0,\) но \(a^2+1 \gt 0\) — всегда верно[IMAGENEWLINE] Тогда \(a^2-2 \lt 0\)[IMAGENEWLINE] Это квадратичная функция с нулями \(\pm\sqrt2,\) а значит \(a\in(-\sqrt2;\sqrt2).\)[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Объединяя это с нулями дискриминанта, мы получаем конечный ответ:[IMAGENEWLINE] \(a\in\{\pm\frac{\sqrt{33}}{4}\}\cup(-\sqrt2;\sqrt2).\)