Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 30+15√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Воспользуемся формулой, связывающей стороны треугольника и радиус вписанной окружности:[NEWLINE]
$S=pr,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.[NEWLINE]
Откуда $r=\frac{S}{p}$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$ для полупериметра:[NEWLINE]
$AB=\sqrt{(30+15\sqrt{2})^2+(30+15\sqrt{2})^2}=$$\sqrt{2(30+15\sqrt{2})^2}=$$\sqrt{2}\cdot(30+15\sqrt{2}).$[NEWLINE]
$p=\frac{\sqrt{2}(30+15\sqrt{2})+(30+15\sqrt{2})+(30+15\sqrt{2})}{2}=$$\frac{(\sqrt{2}+2)(30+15\sqrt{2})}{2}$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Теперь площадь как $S=\frac{1}{2}ab,$ где $a,b$ — катеты:[NEWLINE]
$S=\frac{1}{2}\cdot(30+15\sqrt{2})\cdot(30+15\sqrt{2})=$$\frac{(30+15\sqrt{2})^2}{2}.$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
$r=\frac{\frac{(30+15\sqrt{2})^2}{2}}{\frac{(\sqrt{2}+2)(30+15\sqrt{2})}{2}}=$$\frac{30+15\sqrt2}{\sqrt2+2}=$$\frac{15(2+\sqrt{2})}{\sqrt{2}+2}=15.$
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 30+15√2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Решение:
Воспользуемся формулой, связывающей стороны треугольника и радиус вписанной окружности:
где — полупериметр, — радиус вписанной окружности.
Откуда
По теореме Пифагора найдем гипотенузу для полупериметра:
Теперь площадь как где — катеты:
Ответ: 15
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день