Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U+U_0\sin(\omega t+\phi),$ где $t$ — время в секундах, $U_0= 2 $ В — амплитуда, $\omega=60^\circ/с$ — частота, $\phi=-15^\circ$ — фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
$1=2\sin(60^\circ t-15^\circ)|:2$[NEWLINE] $\sin(60^\circ t-15^\circ)=\frac{1}{2}$[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & 60^\circ t-15^\circ=30^\circ+360^\circ\pi n, n\in Z \\& 60^\circ t-15^\circ=150^\circ+360^\circ\pi k, k\in Z \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Периоды синусоиды нам не нужны, так как спрашивает про первую секунду. Отбрасываем их и находим подходящие $t:$[NEWLINE] \(\left[\begin{aligned} & 60^\circ t-15^\circ=30^\circ \\& 60^\circ t-15^\circ=150^\circ \\\end{aligned}\right.\) \(\left[\begin{aligned} & 60^\circ t=30^\circ+15^\circ |:60 \\& 60^\circ t=150^\circ+15^\circ|:60 \\\end{aligned}\right.\) \(\left[\begin{aligned} & t=\frac{45}{60}=\frac{3}{4} \\& t=\frac{165}{60} > 1 \\\end{aligned}\right.\)[NEWLINE] Мы нашли время, когда лампочка включится, то есть в момент времени $t=\frac{3}{4}.$ Тогда в первую секунду она горела только $t_1=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}=0,25=25\%$

Задание 9, №392 (В банке заданий)

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону U+U_0\sin(\omega t+\phi), где t — время в секундах, U_0= 2 В — амплитуда, \omega=60^\circ/с — частота, \phi=-15^\circ — фаза. Датчик настроен так, что если напряжение в нём не ниже чем 1 В, то загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Решение:

1=2\sin(60^\circ t-15^\circ)|:2
\sin(60^\circ t-15^\circ)=\frac{1}{2}
\left[\begin{aligned} & 60^\circ t-15^\circ=30^\circ+360^\circ\pi n, n\in Z \\& 60^\circ t-15^\circ=150^\circ+360^\circ\pi k, k\in Z \\\end{aligned}\right.
Периоды синусоиды нам не нужны, так как спрашивает про первую секунду. Отбрасываем их и находим подходящие t:
\left[\begin{aligned} & 60^\circ t-15^\circ=30^\circ \\& 60^\circ t-15^\circ=150^\circ \\\end{aligned}\right. \left[\begin{aligned} & 60^\circ t=30^\circ+15^\circ |:60 \\& 60^\circ t=150^\circ+15^\circ|:60 \\\end{aligned}\right. \left[\begin{aligned} & t=\frac{45}{60}=\frac{3}{4} \\& t=\frac{165}{60} \gt 1 \\\end{aligned}\right.
Мы нашли время, когда лампочка включится, то есть в момент времени t=\frac{3}{4}. Тогда в первую секунду она горела только t_1=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}=0,25=25\%

Ответ: 25

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com