Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны $62+31\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Воспользуемся формулой, связывающей стороны треугольника и радиус вписанной окружности:[NEWLINE] $S=pr,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.[NEWLINE] Откуда $r=\frac{S}{p}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] По теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$ для полупериметра:[NEWLINE] $AB=\sqrt{(62+31\sqrt{2})^2+(62+31\sqrt{2})^2}=$$\sqrt{2(62+31\sqrt{2})^2}=$$\sqrt{2}\cdot(62+31\sqrt{2}).$[NEWLINE] $p=\frac{\sqrt{2}(62+31\sqrt{2})+(62+31\sqrt{2})+(62+31\sqrt{2})}{2}=$$\frac{(\sqrt{2}+2)(62+31\sqrt{2})}{2}$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Теперь площадь как $S=\frac{1}{2}ab,$ где $a,b$ — катеты:[NEWLINE] $S=\frac{1}{2}\cdot(62+31\sqrt{2})\cdot(62+31\sqrt{2})=$$\frac{(62+31\sqrt{2})^2}{2}.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $r=\frac{\frac{(62+31\sqrt{2})^2}{2}}{\frac{(\sqrt{2}+2)(62+31\sqrt{2})}{2}}=$$\frac{62+31\sqrt2}{\sqrt2+2}=$$\frac{31(2+\sqrt{2})}{\sqrt{2}+2}=31.$[NEWLINE]