[image:0:left] а) Построим сечение: [IMAGENEWLINE] 1) Соединим $D_1$ и $T$, а также $D_1$ и $E$[IMAGENEWLINE] 2) Так как плоскость проходит через параллельные грани $AA_1D_1D$ и $BB_1C_1C$, то $KT||D_1E$ и соединяем $E$ и $K$, откуда следует, что $EKTD_1$ — искомая плоскость — является трапецией по определению, чтд [image:1:left]б) Построим угол между плоскостями:[IMAGENEWLINE] Проведем $EH\perp D_1T$ и $A_1H\perp D_1T\rightarrow$ $\angle EHA_1$ — искомый угол.[IMAGENEWLINE] Так как $AA_1\perp (A_1B_1C_1D_1)$ по свойствам данной нам фигуры. Значит $\triangle EHA_1$ — прямоугольный. Следовательно, мы можем найти данный угол, используя тригонометрические соотношения. Например, $tg\alpha=\frac{EA_1}{A_1H}.$ Тогда найдем эти катеты:[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Пусть $AE=x, EA_1=3x \rightarrow$[IMAGENEWLINE] $AA_1=x+3x=4x=12 \rightarrow$ [IMAGENEWLINE] $x=3 \rightarrow EA_1=9$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:2:left]Чтобы найти $A_1H$ нам необходимо рассмотреть нижнее основание. Здесь необходимо дополнительное построение. Продолжим $DT$ до пересечения с прямой $A_1B_1$ в точку $F$ (см. рис.).[IMAGENEWLINE] Заметим, что $A_1H$ — высота получившегося прямоугольного $\triangle FA_1D_1,$ проведённая из прямого угла. А значит:[IMAGENEWLINE] $A_1H=\frac{A_1D_1\cdot A_1F}{FD_1},$ где неизвестна $FD_1$ — гипотенуза.[IMAGENEWLINE] Заметим, что $B_1T $ — средняя линия по свойству (равна половине основания). Тогда $FA_1=4\sqrt2$.[IMAGENEWLINE] $FD_1=\sqrt{(4\sqrt2)^2+4^2}=$$\sqrt{32+16}=\sqrt{48}=3\sqrt{3}$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $A_1H=\frac{4\cdot4\sqrt2}{3\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt6}{9}$[IMAGENEWLINE] $tg\angle EHA_1=\frac{9}{\frac{16\sqrt6}{9}}=$$\frac{9\cdot9}{16\sqrt{6}}=\frac{81\sqrt6}{16\cdot6}=$$\frac{27\sqrt6}{32}$[IMAGENEWLINE] $\angle EHA_1=arctg\frac{27\sqrt6}{32}$[IMAGENEWLINE]