15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A млн рублей на срок 60 месяцев. Условия возврата кредита таковы:[NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца сумма долга возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;[NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] — к 15 декабря 2031 года долг должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Чему равно A, если общая сумма платежей в 2031 году составит 1356 тыс. рублей?[NEWLINE]
Обозначим: [NEWLINE] $A$ млн рублей — сумма кредита, [NEWLINE] $n = 60$ месяцев — срок кредитования, [NEWLINE] $r = 2% = \dfrac{1}{50}$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE] $\dfrac{A}{n} = \dfrac{A}{60}$ млн — фиксированная часть долга, гасимая каждый месяц.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & A & A(1 + r) & Ar + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 49 & A \cdot \dfrac{n - 48}{n} & A \cdot \dfrac{n - 48}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 48}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 49}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 60 & \dfrac{A}{n} & \dfrac{A}{n}(1 + r) & \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n} & 0 \\ \hline \end{array} \] [NEWLINE] Так как выплаты происходят по дифференцированной схеме, то, зная выплаты за 2031 год (с 49-го по 60-й месяц) в 1356 тыс. рублей (т.е. 1,356 млн), сумму платежей за этот год можно найти по формуле:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ S_{49-60} = \frac{a_{49} + a_{60}}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] Где: $a_{49} = A \cdot \dfrac{n - 48}{n}r + \dfrac{A}{n}$, $a_{60} = \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n}$ [NEWLINE] Подставим $n = 60$, $r = \dfrac{1}{50}$:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ 1{,}356 = \frac{ A \cdot \dfrac{60 - 48}{60} \cdot \dfrac{1}{50} + \dfrac{A}{60} + \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{1}{50} + \dfrac{A}{60} }{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 1{,}356 = \left( \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{12}{50} + \dfrac{A}{60} + \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{1}{50} + \dfrac{A}{60} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 1{,}356 = \left( \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{13}{50} + \dfrac{2A}{60} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 1{,}356 = \left( \dfrac{13A}{3000} + \dfrac{A}{30} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 1{,}356 = \dfrac{13A}{500} + \dfrac{A}{5} \][NEWLINE] \[ 1{,}356 = A \left( \dfrac{13}{500} + \dfrac{100}{500} \right) = A \cdot \dfrac{113}{500} \][NEWLINE] \[ A = \dfrac{1{,}356 \cdot 500}{113} = \dfrac{678}{113} = 6 \][NEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD]6
Задание 13, (№474 в банке заданий)
15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A млн рублей на срок 60 месяцев. Условия возврата кредита таковы:
— 1-го числа каждого месяца сумма долга возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2031 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно A, если общая сумма платежей в 2031 году составит 1356 тыс. рублей?

Решение:

Обозначим:
A млн рублей — сумма кредита,
n = 60 месяцев — срок кредитования,
r = 2% = \dfrac{1}{50} — месячная процентная ставка,
\dfrac{A}{n} = \dfrac{A}{60} млн — фиксированная часть долга, гасимая каждый месяц.

Составим таблицу выплат:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & A & A(1 + r) & Ar + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 49 & A \cdot \dfrac{n - 48}{n} & A \cdot \dfrac{n - 48}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 48}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 49}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 60 & \dfrac{A}{n} & \dfrac{A}{n}(1 + r) & \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n} & 0 \\ \hline \end{array}
Так как выплаты происходят по дифференцированной схеме, то, зная выплаты за 2031 год (с 49-го по 60-й месяц) в 1356 тыс. рублей (т.е. 1,356 млн), сумму платежей за этот год можно найти по формуле:

S_{49-60} = \frac{a_{49} + a_{60}}{2} \cdot 12
Где: a_{49} = A \cdot \dfrac{n - 48}{n}r + \dfrac{A}{n} , a_{60} = \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n}
Подставим n = 60 , r = \dfrac{1}{50} :

1{,}356 = \frac{ A \cdot \dfrac{60 - 48}{60} \cdot \dfrac{1}{50} + \dfrac{A}{60} + \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{1}{50} + \dfrac{A}{60} }{2} \cdot 12
1{,}356 = \left( \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{12}{50} + \dfrac{A}{60} + \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{1}{50} + \dfrac{A}{60} \right) \cdot 6
1{,}356 = \left( \dfrac{A}{60} \cdot \dfrac{13}{50} + \dfrac{2A}{60} \right) \cdot 6
1{,}356 = \left( \dfrac{13A}{3000} + \dfrac{A}{30} \right) \cdot 6
1{,}356 = \dfrac{13A}{500} + \dfrac{A}{5}
1{,}356 = A \left( \dfrac{13}{500} + \dfrac{100}{500} \right) = A \cdot \dfrac{113}{500}
A = \dfrac{1{,}356 \cdot 500}{113} = \dfrac{678}{113} = 6
Ответ: 6

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com