15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;[NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] — к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Чему равно r, если общая сумма платежей в 2027 году составляет 7830 тыс. рублей?
Обозначим: [NEWLINE] $S = 18$ млн — сумма кредита, [NEWLINE] $n = 36$ — количество месяцев, [NEWLINE] $\frac{S}{n} = \frac{18}{36} = 0{,}5$ млн — фиксированная часть долга, гасимая каждый месяц, [NEWLINE] $r%$ — месячная процентная ставка.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{rn}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 1)}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 2)}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 12 & S \cdot \dfrac{n - 11}{n} & S \cdot \dfrac{n - 11}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 11)}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 12}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как кредит выплачивается по дифференцированной схеме, то платежи образуют арифметическую прогрессию. Просуммируем платежи за 2027 год (с 1-го по 12-й месяц). Тогда их сумма вычисляется как:[NEWLINE] \[ S_{1-12} = \frac{\dfrac{S}{n}\left(\dfrac{rn}{100} + 1\right) + \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 11)}{100} + 1\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $S = 18$, $n = 36$, $S_{1-12} = 7{,}83$ млн:[NEWLINE] \[ 7{,}83 = \frac{\dfrac{18}{36}\left(\dfrac{36r}{100} + 1\right) + \dfrac{18}{36}\left(\dfrac{r(36 - 11)}{100} + 1\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 7{,}83 = \frac{0{,}5 \left(\dfrac{36r}{100} + 1\right) + 0{,}5 \left(\dfrac{25r}{100} + 1\right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 7{,}83 = \frac{0{,}5 \left( \dfrac{61r}{100} + 2 \right)}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 7{,}83 = 0{,}25 \left( \dfrac{61r}{100} + 2 \right) \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 7{,}83 = 3 \left( \dfrac{61r}{100} + 2 \right) \][NEWLINE] \[ \frac{7{,}83}{3} = \dfrac{61r}{100} + 2 \][NEWLINE] \[ 2{,}61 = \dfrac{61r}{100} + 2 \][NEWLINE] \[ 0{,}61 = \dfrac{61r}{100} \][NEWLINE] \[ 61 = 61r \][NEWLINE] \[ r = 1 \]
Задание 13, (№498 в банке заданий)
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно r, если общая сумма платежей в 2027 году составляет 7830 тыс. рублей?

Решение:

Обозначим:
S = 18 млн — сумма кредита,
n = 36 — количество месяцев,
\frac{S}{n} = \frac{18}{36} = 0{,}5 млн — фиксированная часть долга, гасимая каждый месяц,
r% — месячная процентная ставка.

Составим таблицу выплат:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{rn}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 1)}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 2)}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 12 & S \cdot \dfrac{n - 11}{n} & S \cdot \dfrac{n - 11}{n}\left(1 + \dfrac{r}{100}\right) & \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 11)}{100} + 1\right) & S \cdot \dfrac{n - 12}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline \end{array}
Так как кредит выплачивается по дифференцированной схеме, то платежи образуют арифметическую прогрессию. Просуммируем платежи за 2027 год (с 1-го по 12-й месяц). Тогда их сумма вычисляется как:
S_{1-12} = \frac{\dfrac{S}{n}\left(\dfrac{rn}{100} + 1\right) + \dfrac{S}{n}\left(\dfrac{r(n - 11)}{100} + 1\right)}{2} \cdot 12

Подставим S = 18 , n = 36 , S_{1-12} = 7{,}83 млн:
7{,}83 = \frac{\dfrac{18}{36}\left(\dfrac{36r}{100} + 1\right) + \dfrac{18}{36}\left(\dfrac{r(36 - 11)}{100} + 1\right)}{2} \cdot 12
7{,}83 = \frac{0{,}5 \left(\dfrac{36r}{100} + 1\right) + 0{,}5 \left(\dfrac{25r}{100} + 1\right)}{2} \cdot 12
7{,}83 = \frac{0{,}5 \left( \dfrac{61r}{100} + 2 \right)}{2} \cdot 12
7{,}83 = 0{,}25 \left( \dfrac{61r}{100} + 2 \right) \cdot 12
7{,}83 = 3 \left( \dfrac{61r}{100} + 2 \right)
\frac{7{,}83}{3} = \dfrac{61r}{100} + 2
2{,}61 = \dfrac{61r}{100} + 2
0{,}61 = \dfrac{61r}{100}
61 = 61r
r = 1

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com