Обозначим: [NEWLINE] $S = 5$ млн — сумма кредита, [NEWLINE] $n$ — количество лет (искомое), [NEWLINE] $r = 20\% = 0{,}2$ — годовая процентная ставка, [NEWLINE] $\frac{S}{n}$ — фиксированная часть долга, гасимая каждый год.[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & S & S(1 + r) & Sr + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & S \cdot \dfrac{n - 1}{n} & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & S \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & S \cdot \dfrac{n - 2}{n} & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + r) & S \cdot \dfrac{n - 2}{n}r + \dfrac{S}{n} & S \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline n & \dfrac{S}{n} & \dfrac{S}{n}(1 + r) & \dfrac{S}{n}r + \dfrac{S}{n} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как выплаты производятся по дифференцированной схеме, то сумма выплат, равная 7,5 млн рублей, образует арифметическую прогрессию. Сумму которой с первого года по $n$-й год можно найти по формуле:[NEWLINE] \[ S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \][NEWLINE] где $a_1 = Sr + \dfrac{S}{n}$, $a_n = \dfrac{S}{n}r + \dfrac{S}{n}$[NEWLINE] \[ S_n = \frac{Snr + 2S + Sr}{2} \][NEWLINE] Подставим $S = 5$, $r = 0{,}2$, $S_n = 7{,}5$:[NEWLINE] \[ 7{,}5 = \frac{5 \cdot n \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 5 + 5 \cdot 0{,}2}{2} \][NEWLINE] \[ 7{,}5 = \frac{n + 10 + 1}{2} \][NEWLINE] \[ 7{,}5 = \frac{n + 11}{2} \][NEWLINE] \[ 15 = n + 11 \][NEWLINE] \[ n = 4 \]