15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы:[NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;[NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE] — к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.[NEWLINE] Чему равно r, если общая сумма платежей в 2031 году составила 3951 тыс. рублей?
Обозначим: [NEWLINE] $A = 18$ млн рублей — сумма кредита, [NEWLINE] $n = 60$ месяцев — срок кредитования, [NEWLINE] $r%$ — начисляемые проценты, [NEWLINE] $\dfrac{A}{n} = \dfrac{18}{60} = 0{,}3$ млн — фиксированная выплата основного долга каждый месяц.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до \%} & \text{Долг после \%} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & 18 & 18 + 18 \cdot \dfrac{r}{100} & 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} & \dfrac{59}{60} \cdot 18 \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 49 & \dfrac{12}{60} \cdot 18 & \dfrac{12}{60} \cdot 18 + \dfrac{12}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} & \dfrac{12}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} & \dfrac{11}{60} \cdot 18 \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 60 & \dfrac{1}{60} \cdot 18 & \dfrac{1}{60} \cdot 18 + \dfrac{1}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} & \dfrac{1}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Так как нам известна общая сумма платежей за 2031 год (месяцы 49–60), которая при сложении образует арифметическую прогрессию, то их сумму вычислим как:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ S_{49-60} = \frac{a_{49} + a_{60}}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] Где: $a_{49} = \dfrac{12}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60}$, $a_{60} = \dfrac{1}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60}$ [NEWLINE] Подставим:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ 3{,}951 = \frac{ \dfrac{12}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} + \dfrac{1}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} }{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 3{,}951 = \left( \dfrac{18r}{100} \cdot \dfrac{13}{60} + \dfrac{36}{60} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 3{,}951 = \dfrac{18r \cdot 13}{100} \cdot \dfrac{6}{60} + \dfrac{36}{60} \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 3{,}951 = \dfrac{18r \cdot 13}{100} \cdot \dfrac{1}{10} + 3{,}6 \][NEWLINE] \[ 3{,}951 = \dfrac{234r}{1000} + 3{,}6 \][NEWLINE] \[ 0{,}351 = \dfrac{234r}{1000} \][NEWLINE] \[ r = \dfrac{0{,}351 \cdot 1000}{234} = \dfrac{351}{234} = \dfrac{117}{78} = \dfrac{39}{26} = 1{,}5 \][NEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD]1,5
Задание 13, (№531 в банке заданий)
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на 60 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно r, если общая сумма платежей в 2031 году составила 3951 тыс. рублей?

Решение:

Обозначим:
A = 18 млн рублей — сумма кредита,
n = 60 месяцев — срок кредитования,
r% — начисляемые проценты,
\dfrac{A}{n} = \dfrac{18}{60} = 0{,}3 млн — фиксированная выплата основного долга каждый месяц.

Составим таблицу выплат:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до \%} & \text{Долг после \%} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\ \hline 1 & 18 & 18 + 18 \cdot \dfrac{r}{100} & 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} & \dfrac{59}{60} \cdot 18 \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 49 & \dfrac{12}{60} \cdot 18 & \dfrac{12}{60} \cdot 18 + \dfrac{12}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} & \dfrac{12}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} & \dfrac{11}{60} \cdot 18 \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 60 & \dfrac{1}{60} \cdot 18 & \dfrac{1}{60} \cdot 18 + \dfrac{1}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} & \dfrac{1}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} & 0 \\ \hline \end{array}
Так как нам известна общая сумма платежей за 2031 год (месяцы 49–60), которая при сложении образует арифметическую прогрессию, то их сумму вычислим как:

S_{49-60} = \frac{a_{49} + a_{60}}{2} \cdot 12
Где: a_{49} = \dfrac{12}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} , a_{60} = \dfrac{1}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60}
Подставим:

3{,}951 = \frac{ \dfrac{12}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} + \dfrac{1}{60} \cdot 18 \cdot \dfrac{r}{100} + \dfrac{18}{60} }{2} \cdot 12
3{,}951 = \left( \dfrac{18r}{100} \cdot \dfrac{13}{60} + \dfrac{36}{60} \right) \cdot 6
3{,}951 = \dfrac{18r \cdot 13}{100} \cdot \dfrac{6}{60} + \dfrac{36}{60} \cdot 6
3{,}951 = \dfrac{18r \cdot 13}{100} \cdot \dfrac{1}{10} + 3{,}6
3{,}951 = \dfrac{234r}{1000} + 3{,}6
0{,}351 = \dfrac{234r}{1000}
r = \dfrac{0{,}351 \cdot 1000}{234} = \dfrac{351}{234} = \dfrac{117}{78} = \dfrac{39}{26} = 1{,}5
Ответ: 1,5

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com