В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону \(H(t) = H_0 - \sqrt{2gH_0}kt + \frac{g}{2}k^2t^2 \), где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H₀ = 5 м — начальная высота столба воды, \( k = \frac{1}{900} \) — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте, что \(g = 10 \text{м/с^2}\)). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Бак имеет цилиндрическую форму, поэтому объём воды пропорционален высоте столба: $V(t) = S \cdot H(t)$, где $S$ — площадь основания. Следовательно, если объём уменьшился до $\frac{1}{4}$ от начального, то и высота уменьшилась до $\frac{1}{4} H_0$:[NEWLINE]
\[
H(t) = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4} \text{ м}.
\][NEWLINE]
Подставляем остальное:[NEWLINE]
$\frac{5}{4}=5-\sqrt{2\cdot10\cdot5}\cdot\frac{1}{900}t+\frac{10}{2}\cdot(\frac{1}{900})^2t^2$[NEWLINE]
$\frac{5}{4}=5-\frac{1}{90}t+\frac{5}{900^2}t^2$[NEWLINE]
$\frac{5}{900^2}t^2-\frac{1}{90}t+\frac{15}{4}=0$[NEWLINE]
$\frac{1}{900\cdot180}t^2-\frac{1}{90}t+\frac{15}{4}=0|\cdot900\cdot 180$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
$t^2-1800t+15\cdot900\cdot45=0$[NEWLINE]
$D=1800^2-4\cdot15\cdot900\cdot45=$$1800^2-3\cdot900^2=$$900^2(4-3)=900^2$[NEWLINE]
$x_1=\frac{1800+900}{2}=1350.$[NEWLINE]
$x_2=\frac{1800-900}{2}=450.$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Очевидно, что бОльший корень посторонний, так как в баке не может два раза быть достигнута четверть высоты. Если один раз достигло, значит второй раз — физически нереально.
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону , где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H₀ = 5 м — начальная высота столба воды, — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а — ускорение свободного падения (считайте, что ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды?
Решение:
Бак имеет цилиндрическую форму, поэтому объём воды пропорционален высоте столба: , где — площадь основания. Следовательно, если объём уменьшился до от начального, то и высота уменьшилась до :
Подставляем остальное:
Очевидно, что бОльший корень посторонний, так как в баке не может два раза быть достигнута четверть высоты. Если один раз достигло, значит второй раз — физически нереально.
Ответ: 450
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день