Катер в 11:00 вышел из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от A. Пробыв в пункте B 1 час 20 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт A в 15:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.
Решим с помощью таблицы: [NEWLINE] $$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{\( v \) (км/ч)} & \textbf{\( S \) (км)} & \textbf{\( t = \frac{S}{v} \) (ч)} \\ \hline \text{По течению} & x + 3 & 15 & \frac{15}{x + 3} \\ \hline \text{Против течения} & x - 3 & 15 & \frac{15}{x - 3} \\ \hline \end{array} $$ [NEWLINE] Общее время движения катера: Выход — 11:00, возврат — 15:00 → прошло 4 часа. Стоянка — 1 час 20 минут = $1\frac{1}{3}$ часа = $\frac{4}{3}$ часа. Время в пути: $4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$ часа. [NEWLINE] Составим уравнение: \[ \frac{15}{x + 3} + \frac{15}{x - 3} = \frac{8}{3}. \] [NEWLINE] \[ \frac{15(x - 3) + 15(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{8}{3} \] [NEWLINE] \[ \frac{15x - 45 + 15x + 45}{x^2 - 9} = \frac{8}{3} \] [NEWLINE] \[ \frac{30x}{x^2 - 9} = \frac{8}{3} \] [NEWLINE] \[ 90x = 8(x^2 - 9) \] [NEWLINE] \[ 90x = 8x^2 - 72 \] [NEWLINE] \[ 8x^2 - 90x - 72 = 0 \] [NEWLINE] \[ 4x^2 - 45x - 36 = 0 \] [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601 = 51^2. \] [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ x = \frac{45 \pm 51}{8} \] [NEWLINE] \[ x_1 = \frac{45 + 51}{8} = \frac{96}{8} = 12, \] [NEWLINE] \[ x_2 = \frac{45 - 51}{8} = \frac{-6}{8} = -0{,}75. \] [NEWLINE] Скорость не может быть отрицательной.
Задание 11, (№691 в банке заданий)
Катер в 11:00 вышел из пункта A в пункт B, расположенный в 15 км от A. Пробыв в пункте B 1 час 20 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт A в 15:00 того же дня. Определите собственную скорость катера (в км/ч), если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Решение:

Решим с помощью таблицы:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{\( v \) (км/ч)} & \textbf{\( S \) (км)} & \textbf{\( t = \frac{S}{v} \) (ч)} \\ \hline \text{По течению} & x + 3 & 15 & \frac{15}{x + 3} \\ \hline \text{Против течения} & x - 3 & 15 & \frac{15}{x - 3} \\ \hline \end{array}
Общее время движения катера: Выход — 11:00, возврат — 15:00 → прошло 4 часа. Стоянка — 1 час 20 минут = 1\frac{1}{3} часа = \frac{4}{3} часа. Время в пути: 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} часа.
Составим уравнение: \frac{15}{x + 3} + \frac{15}{x - 3} = \frac{8}{3}.
\frac{15(x - 3) + 15(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{8}{3}
\frac{15x - 45 + 15x + 45}{x^2 - 9} = \frac{8}{3}
\frac{30x}{x^2 - 9} = \frac{8}{3}
90x = 8(x^2 - 9)
90x = 8x^2 - 72
8x^2 - 90x - 72 = 0
4x^2 - 45x - 36 = 0
D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601 = 51^2.
x = \frac{45 \pm 51}{8}
x_1 = \frac{45 + 51}{8} = \frac{96}{8} = 12,
x_2 = \frac{45 - 51}{8} = \frac{-6}{8} = -0{,}75.
Скорость не может быть отрицательной.

Ответ: 12

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com