15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 19,8 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:[NEWLINE]
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 7 % по сравнению с концом предыдущего месяца;[NEWLINE]
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;[NEWLINE]
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;[NEWLINE]
- к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
[NEWLINE]
Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году?
Обозначим: [NEWLINE]
$S = 19{,}8$ млн — сумма кредита, [NEWLINE]
$r = 7\% = 0{,}07$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE]
$\frac{S}{36}$ — фиксированная часть долга, которая гасится каждый месяц.[NEWLINE]
Составим таблицу выплат:[NEWLINE]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\
\hline
1 & S & S + Sr & Sr + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{35}{36} \\
\hline
2 & S \cdot \dfrac{35}{36} & S \cdot \dfrac{35}{36} + S \cdot \dfrac{35}{36}r & S \cdot \dfrac{35}{36}r + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{34}{36} \\
\hline
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\hline
25 & S \cdot \dfrac{12}{36} & S \cdot \dfrac{12}{36} + S \cdot \dfrac{12}{36}r & S \cdot \dfrac{12}{36}r + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{11}{36} \\
\hline
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\hline
36 & \dfrac{S}{36} & \dfrac{S}{36} + \dfrac{S}{36}r & \dfrac{S}{36}r + \dfrac{S}{36} & 0 \\
\hline
\end{array}
\][NEWLINE]
Заметим, что выплаты образуют арифметическую прогрессию. Так как необходимо найти сумму выплат за 2029 год (25–36 месяцы), то составим уравнение по формуле суммы арифметической прогрессии:[NEWLINE]
\[
S_n = \frac{\left(S \cdot \dfrac{12}{36}r + \dfrac{S}{36}\right) + \left(\dfrac{S}{36}r + \dfrac{S}{36}\right)}{2} \cdot 12
\][NEWLINE]
\[
S_n = \frac{S}{36} \cdot \frac{(12r + 1) + (r + 1)}{2} \cdot 12
\][NEWLINE]
\[
S_n = \frac{S}{36} \cdot \frac{13r + 2}{2} \cdot 12 = \frac{S}{36} \cdot 6 \cdot (13r + 2)
\][NEWLINE]
\[
S_n = \frac{S}{6} \cdot (13r + 2)
\][NEWLINE]
Подставим $S = 19{,}8$, $r = 0{,}07 = \dfrac{7}{100}$:[NEWLINE]
\[
S_n = \frac{19{,}8}{6} \cdot \left(13 \cdot \frac{7}{100} + 2\right) = \frac{19{,}8}{6} \cdot \left(\frac{91}{100} + \frac{200}{100}\right)
\][NEWLINE]
\[
S_n = \frac{19{,}8}{6} \cdot \frac{291}{100} = \frac{19{,}8 \cdot 291}{600}
\][NEWLINE]
\[
S_n = \frac{5761{,}8}{600} = 9{,}603 \text{ млн}
\][NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] 9,603
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 19,8 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 7 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году?
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 7 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году?
Решение:
Обозначим:
млн — сумма кредита,
— месячная процентная ставка,
— фиксированная часть долга, которая гасится каждый месяц.
Составим таблицу выплат:
Заметим, что выплаты образуют арифметическую прогрессию. Так как необходимо найти сумму выплат за 2029 год (25–36 месяцы), то составим уравнение по формуле суммы арифметической прогрессии:
Подставим , :
Ответ: 9,603
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день