В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что A₁M = 4MA, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость ɑ перпендикулярно грани ABB₁A₁.[NEWLINE]
а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.[NEWLINE]
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 50.[NEWLINE]
[image:0:left]а) Заметим, что данная треугольная призма [BOLD]правильная[/BOLD]. Это значит, что $\triangle A_1B_1C_1$ равносторонний. Единственный перпендикуляр, который может проводиться в точку $K$ — высота $C_1K.$ [IMAGENEWLINE]
Также вспомним, что основания и боковые грани перпендикулярны, откуда следует, что $C_1K \perp AA_1.$ [IMAGENEWLINE]
То есть мы имеем $C_1K \perp A_1B_1$ и $C_1K \perp AA_1.$ Из этого следует, что $C_1K$ будет перпендикулярно плоскости, что прописано в условии. Следовательно, $C_1 \in C_1KM,$ чтд.[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
б) Заметим, что $C_1K \perp KM,$ потому что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Значит $\triangle C_1KM$ — прямоугольный, а значит его площадь будет вычисляться по формуле $S=\frac{1}{2}C_1K\cdot KM.$[IMAGENEWLINE]
Следовательно, нам необходимо найти его катеты. Знаем, что все ребра по $50$, а также $A_1K=KB_1$ и $A_1M=4MA.$ Из этого будет следовать, что[IMAGENEWLINE]
$A_1K=KB_1=25,$ $A_1M=40,$ $AM=10.$ Тогда:[IMAGENEWLINE]
1) $C_1K=\sqrt{50^2-25^2}=\sqrt{(50-25)(50+25)}=$$\sqrt{25\cdot75}=25\sqrt{3}.$[IMAGENEWLINE]
2) $KM=\sqrt{40^2+25^2}=\sqrt{5^2(8^2+5^2)}=5\sqrt{89}.$[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
$S=\frac{1}{2}\cdot 25\sqrt{3}\cdot5\sqrt{89}=\frac{125}{2}\sqrt{267}.$
В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ отметили точки M и K на рёбрах AA₁ и A₁B₁ соответственно. Известно, что A₁M = 4MA, A₁K = KB₁. Через точки M и K провели плоскость ɑ перпендикулярно грани ABB₁A₁.
а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 50.
а) Докажите, что плоскость ɑ проходит через вершину C₁.
б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью ɑ, если все рёбра призмы равны 50.
Решение:
а) Заметим, что данная треугольная призма правильная. Это значит, что равносторонний. Единственный перпендикуляр, который может проводиться в точку — высота
Также вспомним, что основания и боковые грани перпендикулярны, откуда следует, что
То есть мы имеем и Из этого следует, что будет перпендикулярно плоскости, что прописано в условии. Следовательно, чтд.
б) Заметим, что потому что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Значит — прямоугольный, а значит его площадь будет вычисляться по формуле
Следовательно, нам необходимо найти его катеты. Знаем, что все ребра по , а также и Из этого будет следовать, что
Тогда:
1)
2)
Также вспомним, что основания и боковые грани перпендикулярны, откуда следует, что
То есть мы имеем и Из этого следует, что будет перпендикулярно плоскости, что прописано в условии. Следовательно, чтд.
б) Заметим, что потому что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Значит — прямоугольный, а значит его площадь будет вычисляться по формуле
Следовательно, нам необходимо найти его катеты. Знаем, что все ребра по , а также и Из этого будет следовать, что
Тогда:
1)
2)
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день