$a(x+\frac{4}{x})^2+3(x+\frac{4}{x})-36a+18=0$[NEWLINE] Введём замену $y=x+\frac{4}{x} $ и проанализируем её:[NEWLINE] $xy=x^2+4\rightarrow x^2-xy+4=0$[NEWLINE] То есть относительно $x$ заменённое уравнение — квадратичное. Значит оно имеет два корня при $D \gt 0$ и один корень при $D=0.$[NEWLINE] $D=y^2-16$[NEWLINE] $D \gt 0 \rightarrow y \in (-\infty;-4) \cup (4;+\infty)$ [NEWLINE] $D=0 \rightarrow y=\pm4$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Рассмотрим теперь $ay^2+3y-36a+18=0$[NEWLINE] Данное уравнение может быть [BOLD]линейным[/BOLD] (при $a=0$) и [BOLD]квадратным[/BOLD] (при $a\neq0$).[NEWLINE] $I.$ [BOLD]Рассмотрим первую ситуацию:[/BOLD][NEWLINE] $3y+18=0 \rightarrow y=-6\in (-\infty;-4) \cup (4;+\infty)$[NEWLINE] Значит при $a=0$ искомое уравнение имеет ровно 2 различных корня[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $II.$ [BOLD]Вторая ситуация:[/BOLD][NEWLINE] Найдём дискриминант $ay^2+3y-36a+18=0:$[NEWLINE] $D=9-4\cdot a\cdot (-36a+18)=$$144a^2-72a+9=(12a-3)^2$[NEWLINE] 1) Если $D=0,$ то $y=\frac{-b}{2a}.$[NEWLINE] Найдём $a$ из дискриминанта, равного нулю:[NEWLINE] $(12a-3)^2=0 \rightarrow a=\frac{1}{4}$[NEWLINE] Тогда $y=\frac{-3}{2\cdot \frac{1}{4}}=-6$ (опять, уже знаем, что подходит)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 2) Если $D \gt 0.$ Казалось бы, нам такое не подходит, ведь если так будет, то каждый из $y$ даст по два корня и в результате их будет $4,$ но ведь мы можем сказать, что действительно корня будет два, вот только один [BOLD]не будет попадать в свои же ограничения![/BOLD][NEWLINE] Тогда $y_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{(12a-3)^2}}{2a}$[NEWLINE] $y_1=\frac{-3+12a-3}{2a}=\frac{6a-3}{a}$[NEWLINE] $y_2=\frac{-3-12a+3}{2a}=-6$[NEWLINE] Теперь мы видим, что $y_2$ уже попадает и является решением. Значит нам нужно найти такие значения $a,$ при которых $y_1$ не входит в $(-\infty;-4) \cup (4;+\infty).$ Составим систему:[NEWLINE] \(\begin{cases} \frac{6a-3}{a} \gt -4 \\ \frac{6a-3}{a} \lt 4 \end{cases}\)\(\begin{cases} \frac{10a-3}{a} \gt 0 \\ \frac{2a-3}{a} \lt 0 \end{cases}\) Решив оба неравенства, пересечём их и получим, что $a\in(\frac{3}{10};\frac{3}{2})$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Объединяя с предыдущими, получаем ответ:[NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $a\in(\frac{3}{10};\frac{3}{2})\cup\{0;\frac{1}{4}\}$