В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.[NEWLINE] а) Докажите, что прямые AC и KN параллельны.[NEWLINE] б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен $6\sqrt{6}$, $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle ABC = 105^\circ$.[NEWLINE]
[image:0:left]а) $BN$ — диаметр (по условию), $\angle BKN$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр $BN \rightarrow \angle BKN=90^\circ$[IMAGENEWLINE] Так как $\angle BHA =90^\circ,$ так как $BH$ — высота и два упомянутых угла — соответственные углы при пересечении двух прямых $AC$ и $KN$ третьей прямой $BK,$ то из этого следует, что $AC||KN,$ чтд.[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [image:1:left]б) $R=6\sqrt{6}, \angle BAC=30^\circ, \angle ABC=105^\circ.$[IMAGENEWLINE] Из теоремы о сумме углов треугольников:[IMAGENEWLINE] $\angle ACB=180^\circ-105^\circ-30^\circ=45^\circ.$[IMAGENEWLINE] Проведем доп. построение $AN$ и заметим, что $\angle BNA=\angle BCA=45^\circ$ как вписанные углы, опирающиеся на одну окружность.[IMAGENEWLINE] Также заметим, что $\angle CAN=90^\circ-30^\circ=60^\circ,$ так как $\angle BAN$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр.[IMAGENEWLINE] Тогда в $\triangle AMN:$ $\angle MNA=30^\circ,$ $\cos30^\circ=\frac{MN}{AN}\rightarrow MN=AN\cos30^\circ.$ Значит нашей задачей теперь является найти $AN.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] Вспомним о $BAN:$ у него оба угла по $45^\circ.$ Из этого следует его равнобедренность. Значит $AB=AN.$[IMAGENEWLINE] Теперь рассмотрим теорему синусов для вписанного треугольника $\triangle ABC:$[IMAGENEWLINE] $\frac{AB}{\sin45^\circ}=2R \rightarrow AB=2R\sin45^\circ$[IMAGENEWLINE] $AB=2\cdot6\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{12}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] $MN=6\sqrt{12}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{36}=18.$
Задание 18, (№705 в банке заданий)
В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке K. Отрезок BN — диаметр этой окружности.
а) Докажите, что прямые AC и KN параллельны.
б) Найдите расстояние от точки N до прямой AC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 6\sqrt{6} , \angle BAC = 30^\circ , \angle ABC = 105^\circ .

Решение:

Solution image 0
а) BN — диаметр (по условию), \angle BKN — вписанный угол, опирающийся на диаметр BN \rightarrow \angle BKN=90^\circ
Так как \angle BHA =90^\circ, так как BH — высота и два упомянутых угла — соответственные углы при пересечении двух прямых AC и KN третьей прямой BK, то из этого следует, что AC||KN, чтд.

Solution image 1
б) R=6\sqrt{6}, \angle BAC=30^\circ, \angle ABC=105^\circ.
Из теоремы о сумме углов треугольников:
\angle ACB=180^\circ-105^\circ-30^\circ=45^\circ.
Проведем доп. построение AN и заметим, что \angle BNA=\angle BCA=45^\circ как вписанные углы, опирающиеся на одну окружность.
Также заметим, что \angle CAN=90^\circ-30^\circ=60^\circ, так как \angle BAN — вписанный угол, опирающийся на диаметр.
Тогда в \triangle AMN: \angle MNA=30^\circ, \cos30^\circ=\frac{MN}{AN}\rightarrow MN=AN\cos30^\circ. Значит нашей задачей теперь является найти AN.

Вспомним о BAN: у него оба угла по 45^\circ. Из этого следует его равнобедренность. Значит AB=AN.
Теперь рассмотрим теорему синусов для вписанного треугольника \triangle ABC:
\frac{AB}{\sin45^\circ}=2R \rightarrow AB=2R\sin45^\circ
AB=2\cdot6\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{12}.

MN=6\sqrt{12}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{36}=18.

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com