\( a\left(x+\frac{9}{x}\right)^2+3\left(x+\frac{9}{x}\right)-49a+21=0 \) [NEWLINE] Введём замену \( y = x + \dfrac{9}{x} \) и проанализируем её: [NEWLINE] \( xy = x^2 + 9 \rightarrow x^2 - xy + 9 = 0 \) [NEWLINE] То есть относительно \( x \) заменённое уравнение — квадратичное. Значит оно имеет два корня при \( D > 0 \) и один корень при \( D = 0. \) [NEWLINE] \( D = y^2 - 36 \) [NEWLINE] \( D > 0 \rightarrow y \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \) [NEWLINE] \( D = 0 \rightarrow y = \pm 6 \)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Рассмотрим теперь \( ay^2 + 3y - 49a + 21 = 0 \) [NEWLINE] Данное уравнение может быть [BOLD]линейным[/BOLD] (при \( a = 0 \)) и [BOLD]квадратным[/BOLD] (при \( a \neq 0 \)).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \( I. \) [BOLD]Рассмотрим первую ситуацию:[/BOLD] [NEWLINE] \( 3y + 21 = 0 \rightarrow y = -7 \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \) [NEWLINE] Значит при \( a = 0 \) искомое уравнение имеет ровно 2 различных корня.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \( II. \) [BOLD]Вторая ситуация:[/BOLD] [NEWLINE] Найдём дискриминант \( ay^2 + 3y - 49a + 21 = 0 \): [NEWLINE] \( D = 9 - 4 \cdot a \cdot (-49a + 21) = 196a^2 - 84a + 9 = (14a - 3)^2 \)[NEWLINE] 1) Если \( D = 0 \), то \( y = \dfrac{-b}{2a}. \) [NEWLINE] Найдём \( a \) из дискриминанта, равного нулю: [NEWLINE] \( (14a - 3)^2 = 0 \rightarrow a = \dfrac{3}{14} \) [NEWLINE] Тогда \( y = \dfrac{-3}{2 \cdot \dfrac{3}{14}} = -7 \) (уже знаем, что подходит)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 2) Если \( D > 0. \) Казалось бы, нам такое не подходит, ведь если так будет, то каждый из \( y \) даст по два корня и в результате их будет 4, но ведь мы можем сказать, что действительно корня будет два, вот только один [BOLD]не будет попадать в свои же ограничения![/BOLD] [NEWLINE] Тогда [NEWLINE] \( y_{1,2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{(14a - 3)^2}}{2a} \) [NEWLINE] \( y_1 = \dfrac{-3 + 14a - 3}{2a} = \dfrac{14a - 6}{2a} = \dfrac{7a - 3}{a} \) [NEWLINE] \( y_2 = \dfrac{-3 - 14a + 3}{2a} = \dfrac{-14a}{2a} = -7 \)[NEWLINE] Теперь мы видим, что \( y_2 = -7 \) уже попадает и является решением. [NEWLINE] Значит нам нужно найти такие значения \( a \), при которых \( y_1 \) не входит в \( (-\infty; -6) \cup (6; +\infty). \) [NEWLINE] Составим систему: [NEWLINE] \(\begin{cases} \dfrac{7a - 3}{a} \gt -6 \\ \dfrac{7a - 3}{a} \lt 6 \end{cases}\) \(\begin{cases} \dfrac{13a - 3}{a} \gt 0 \\ \dfrac{a - 3}{a} \lt 0 \end{cases}\)[NEWLINE] Решим первое неравенство: [NEWLINE] \( \dfrac{13a - 3}{a} \gt 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 0) \cup \left( \dfrac{3}{13}; +\infty \right) \)[NEWLINE] Решим второе неравенство: [NEWLINE] \( \dfrac{a - 3}{a} \lt 0 \Rightarrow a \in (0; 3) \)[NEWLINE] Пересечение: [NEWLINE] \( a \in \left( \dfrac{3}{13}; 3 \right) \)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Объединяя с предыдущими случаями, получаем ответ: [NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] \( a \in \left( \dfrac{3}{13}; 3 \right) \cup \left\{ 0; \dfrac{3}{14} \right\} \)