\( a\left(x+\frac{9}{x}\right)^2 + 2\left(x+\frac{9}{x}\right) - 64a + 16 = 0 \) [NEWLINE] Введём замену \( y = x + \dfrac{9}{x} \) и проанализируем её: [NEWLINE] \( xy = x^2 + 9 \rightarrow x^2 - xy + 9 = 0 \) [NEWLINE] То есть относительно \( x \) заменённое уравнение — квадратичное. Значит оно имеет два корня при \( D > 0 \) и один корень при \( D = 0. \) [NEWLINE] \( D = y^2 - 36 \) [NEWLINE] \( D > 0 \rightarrow y \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \) [NEWLINE] \( D = 0 \rightarrow y = \pm 6 \)[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Рассмотрим теперь \( ay^2 + 2y - 64a + 16 = 0 \) [NEWLINE] Данное уравнение может быть [BOLD]линейным[/BOLD] (при \( a = 0 \)) и [BOLD]квадратным[/BOLD] (при \( a \neq 0 \)).[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \( I. \) [BOLD]Рассмотрим первую ситуацию:[/BOLD] [NEWLINE] \( 2y + 16 = 0 \rightarrow y = -8 \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \) [NEWLINE] Значит при \( a = 0 \) искомое уравнение имеет ровно 2 различных корня.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \( II. \) [BOLD]Вторая ситуация:[/BOLD] [NEWLINE] Найдём дискриминант \( ay^2 + 2y - 64a + 16 = 0 \): [NEWLINE] \( D = 4 - 4 \cdot a \cdot (-64a + 16) = 256a^2 - 64a + 4 = (16a - 2)^2 \)[NEWLINE] 1) Если \( D = 0 \), то \( y = \dfrac{-b}{2a} \). [NEWLINE] Найдём \( a \) из дискриминанта, равного нулю: [NEWLINE] \( (16a - 2)^2 = 0 \rightarrow a = \dfrac{1}{8} \) [NEWLINE] Тогда \( y = \dfrac{-2}{2 \cdot \dfrac{1}{8}} = -8 \) — подходит.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] 2) Если \( D > 0 \). Тогда два значения \( y \), но чтобы общее число корней по \( x \) было ровно 2, необходимо, чтобы ровно одно из значений \( y \) давало допустимые \( x \), а второе — нет (т.е. попадало в интервал \((-6; 6)\)). [NEWLINE] Найдём корни: \( y_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{(16a - 2)^2}}{2a} \) [NEWLINE] \( y_1 = \dfrac{-2 + 16a - 2}{2a} = \dfrac{16a - 4}{2a} = \dfrac{8a - 2}{a} \) [NEWLINE] \( y_2 = \dfrac{-2 - 16a + 2}{2a} = \dfrac{-16a}{2a} = -8 \)[NEWLINE] Итак, \( y_2 = -8 \in (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \) — всегда даёт два различных корня. [NEWLINE] Значит, чтобы общее число корней было ровно 2, необходимо, чтобы \( y_1 \notin (-\infty; -6) \cup (6; +\infty) \), то есть \[ y_1 \in (-6; 6) \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Решим систему: [NEWLINE] \(\begin{cases} \dfrac{8a - 2}{a} \gt -6 \\ \dfrac{8a - 2}{a} \lt 6 \end{cases}\) [NEWLINE] Преобразуем: [NEWLINE] \(\begin{cases} \dfrac{8a - 2 + 6a}{a} \gt 0 \\ \dfrac{8a - 2 - 6a}{a} \lt 0 \end{cases}\) → \(\begin{cases} \dfrac{14a - 2}{a} \gt 0 \\ \dfrac{2a - 2}{a} \lt 0 \end{cases}\) [NEWLINE] Решим первое: [NEWLINE] \( \dfrac{14a - 2}{a} \gt 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 0) \cup \left(\dfrac{1}{7}; +\infty\right) \)[NEWLINE] Решим второе: [NEWLINE] \( \dfrac{2a - 2}{a} \lt 0 \Rightarrow a \in (0; 1) \) [NEWLINE] Пересечение: \( a \in \left(\dfrac{1}{7}; 1\right) \) [NEWLINE]\(\)[NEWLINE] Теперь объединим все подходящие \( a \): [NEWLINE] - \( a = 0 \) — подходит [NEWLINE] - \( a = \dfrac{1}{8} \) — подходит (даёт один \( y = -8 \)) [NEWLINE] - \( a \in \left(\dfrac{1}{7}; 1\right) \) — здесь \( y_1 \in (-6; 6) \), значит не даёт корней, а \( y_2 = -8 \) даёт ровно 2 корня.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Итак, все значения \( a \), при которых уравнение имеет ровно два различных корня:[NEWLINE] \[ a = 0,\quad a = \frac{1}{8},\quad a \in \left(\frac{1}{7};\,1\right) \][NEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] \( a \in \left(\dfrac{1}{7};\,1\right) \cup \left\{ 0;\, \dfrac{1}{8} \right\} \)