15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 21,6 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы: [NEWLINE]
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего месяца; [NEWLINE]
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга; [NEWLINE]
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; [NEWLINE]
— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен. [NEWLINE]
Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году?
Обозначим: [NEWLINE]
$S = 21{,}6$ млн — сумма кредита, [NEWLINE]
$r = 6% = 0{,}06$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE]
$\frac{S}{36}$ — фиксированная часть долга, которая гасится каждый месяц.[NEWLINE]
Составим таблицу выплат:[NEWLINE]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
\text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Долг после выплаты} \\
\hline
1 & S & S + Sr & Sr + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{35}{36} \\
\hline
2 & S \cdot \dfrac{35}{36} & S \cdot \dfrac{35}{36} + S \cdot \dfrac{35}{36}r & S \cdot \dfrac{35}{36}r + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{34}{36} \\
\hline
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\hline
25 & S \cdot \dfrac{12}{36} & S \cdot \dfrac{12}{36} + S \cdot \dfrac{12}{36}r & S \cdot \dfrac{12}{36}r + \dfrac{S}{36} & S \cdot \dfrac{11}{36} \\
\hline
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\hline
36 & \dfrac{S}{36} & \dfrac{S}{36} + \dfrac{S}{36}r & \dfrac{S}{36}r + \dfrac{S}{36} & 0 \\
\hline
\end{array}
\][NEWLINE]
Заметим, что выплаты образуют арифметическую прогрессию. Так как необходимо найти сумму выплат за 2029 год (25–36 месяцы), то составим уравнение по формуле суммы арифметической прогрессии:[NEWLINE]
\[
S_n = \frac{\left(S \cdot \dfrac{12}{36}r + \dfrac{S}{36}\right) + \left(\dfrac{S}{36}r + \dfrac{S}{36}\right)}{2} \cdot 12
\][NEWLINE]
\[
S_n = \frac{S}{36} \cdot \frac{(12r + 1) + (r + 1)}{2} \cdot 12
\][NEWLINE]
\[
S_n = \frac{S}{36} \cdot \frac{13r + 2}{2} \cdot 12 = \frac{S}{36} \cdot 6 \cdot (13r + 2)
\][NEWLINE]
\[
S_n = \frac{S}{6} \cdot (13r + 2)
\][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Подставим $S = 21{,}6$, $r = 0{,}06$:[NEWLINE]
\[
S_n = \frac{21{,}6}{6} \cdot (13 \cdot 0{,}06 + 2) = 3{,}6 \cdot (0{,}78 + 2) = 3{,}6 \cdot 2{,}78 = 10{,}008 \text{ млн}
\][NEWLINE]
[BOLD]Ответ: [/BOLD]10,008
15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 21,6 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году?
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
Чему будет равна общая сумма платежей в 2029 году?
Решение:
Обозначим:
млн — сумма кредита,
— месячная процентная ставка,
— фиксированная часть долга, которая гасится каждый месяц.
Составим таблицу выплат:
Заметим, что выплаты образуют арифметическую прогрессию. Так как необходимо найти сумму выплат за 2029 год (25–36 месяцы), то составим уравнение по формуле суммы арифметической прогрессии:
Подставим , :
Ответ: 10,008
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день