15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A млн рублей на срок 48 месяцев. Условия возврата кредита таковы: [NEWLINE] — 1-го числа каждого месяца сумма долга возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца; [NEWLINE] — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга; [NEWLINE] — 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; [NEWLINE] — к 15 декабря 2030 года долг должен быть полностью погашен. [NEWLINE] Чему равно A, если общая сумма платежей в 2030 году составит 6390 тыс. рублей?
Обозначим: [NEWLINE] $A$ млн рублей — сумма кредита, [NEWLINE] $n = 48$ месяцев — срок кредитования, [NEWLINE] $r = 1% = \dfrac{1}{100}$ — месячная процентная ставка, [NEWLINE] $\dfrac{A}{n} = \dfrac{A}{48}$ млн — фиксированная часть долга, гасимая каждый месяц.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Составим таблицу выплат:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Остаток} \\ \hline 1 & A & A(1 + r) & Ar + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 37 & A \cdot \dfrac{n - 36}{n} & A \cdot \dfrac{n - 36}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 36}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 37}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 48 & \dfrac{A}{n} & \dfrac{A}{n}(1 + r) & \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n} & 0 \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] Заметим, что платежи производятся по дифференцированной схеме. Следовательно, зная сумму платежей за 2030 год (с 37-го по 48-й месяц) в 6390 тыс. рублей (т.е. 6,39 млн), составим уравнение по формуле суммы арифметической прогрессии:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ S_{37-48} = \frac{a_{37} + a_{48}}{2} \cdot 12 \][NEWLINE] Где: $a_{37} = A \cdot \dfrac{n - 36}{n}r + \dfrac{A}{n}$, $a_{48} = \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n}$ [NEWLINE] Подставим $n = 48$, $r = \dfrac{1}{100}$:[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ 6{,}39 = \frac{ A \cdot \dfrac{48 - 36}{48} \cdot \dfrac{1}{100} + \dfrac{A}{48} + \dfrac{A}{48} \cdot \dfrac{1}{100} + \dfrac{A}{48} }{2} \cdot 12 \][NEWLINE] \[ 6{,}39 = \left( \dfrac{A}{48} \cdot \dfrac{12}{100} + \dfrac{A}{48} + \dfrac{A}{48} \cdot \dfrac{1}{100} + \dfrac{A}{48} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 6{,}39 = \left( \dfrac{A}{48} \cdot \dfrac{13}{100} + \dfrac{2A}{48} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 6{,}39 = \left( \dfrac{13A}{4800} + \dfrac{A}{24} \right) \cdot 6 \][NEWLINE] \[ 6{,}39 = \dfrac{13A}{800} + \dfrac{A}{4} \][NEWLINE] \[ 6{,}39 = A \left( \dfrac{13}{800} + \dfrac{200}{800} \right) = A \cdot \dfrac{213}{800} \][NEWLINE] \[ A = \dfrac{6{,}39 \cdot 800}{213} = \dfrac{5112}{213} = 24 \][NEWLINE] [BOLD]Ответ: [/BOLD]24
Задание 13, (№716 в банке заданий)
15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A млн рублей на срок 48 месяцев. Условия возврата кредита таковы:
— 1-го числа каждого месяца сумма долга возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15 декабря 2030 года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно A, если общая сумма платежей в 2030 году составит 6390 тыс. рублей?

Решение:

Обозначим:
A млн рублей — сумма кредита,
n = 48 месяцев — срок кредитования,
r = 1% = \dfrac{1}{100} — месячная процентная ставка,
\dfrac{A}{n} = \dfrac{A}{48} млн — фиксированная часть долга, гасимая каждый месяц.
Составим таблицу выплат:
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} & \text{Остаток} \\ \hline 1 & A & A(1 + r) & Ar + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} \\ \hline 2 & A \cdot \dfrac{n - 1}{n} & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 1}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} \\ \hline 3 & A \cdot \dfrac{n - 2}{n} & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 2}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 3}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 37 & A \cdot \dfrac{n - 36}{n} & A \cdot \dfrac{n - 36}{n}(1 + r) & A \cdot \dfrac{n - 36}{n}r + \dfrac{A}{n} & A \cdot \dfrac{n - 37}{n} \\ \hline \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \hline 48 & \dfrac{A}{n} & \dfrac{A}{n}(1 + r) & \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n} & 0 \\ \hline \end{array}
Заметим, что платежи производятся по дифференцированной схеме. Следовательно, зная сумму платежей за 2030 год (с 37-го по 48-й месяц) в 6390 тыс. рублей (т.е. 6,39 млн), составим уравнение по формуле суммы арифметической прогрессии:
S_{37-48} = \frac{a_{37} + a_{48}}{2} \cdot 12
Где: a_{37} = A \cdot \dfrac{n - 36}{n}r + \dfrac{A}{n} , a_{48} = \dfrac{A}{n}r + \dfrac{A}{n}
Подставим n = 48 , r = \dfrac{1}{100} :
6{,}39 = \frac{ A \cdot \dfrac{48 - 36}{48} \cdot \dfrac{1}{100} + \dfrac{A}{48} + \dfrac{A}{48} \cdot \dfrac{1}{100} + \dfrac{A}{48} }{2} \cdot 12
6{,}39 = \left( \dfrac{A}{48} \cdot \dfrac{12}{100} + \dfrac{A}{48} + \dfrac{A}{48} \cdot \dfrac{1}{100} + \dfrac{A}{48} \right) \cdot 6
6{,}39 = \left( \dfrac{A}{48} \cdot \dfrac{13}{100} + \dfrac{2A}{48} \right) \cdot 6
6{,}39 = \left( \dfrac{13A}{4800} + \dfrac{A}{24} \right) \cdot 6
6{,}39 = \dfrac{13A}{800} + \dfrac{A}{4}
6{,}39 = A \left( \dfrac{13}{800} + \dfrac{200}{800} \right) = A \cdot \dfrac{213}{800}
A = \dfrac{6{,}39 \cdot 800}{213} = \dfrac{5112}{213} = 24
Ответ: 24

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com