Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой \[ H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos 2\alpha), \] где $v_0 = 28$ м/с — начальная скорость мячика, $g = 10$ м/с² — ускорение свободного падения. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 18,6 м на расстоянии 1 м?
Из текста выясняем, что $H=18,6+1=19,6$.[NEWLINE] Выразим (это гораздо удобнее) $\alpha:$ [NEWLINE] $ H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos 2\alpha)|\cdot\frac{4g}{v_0^2}$[NEWLINE] $\frac{4gH}{v_0^2}=1-\cos2\alpha$[NEWLINE] $\cos2\alpha=1-\frac{4gH}{v_0^2}$[NEWLINE] $2\alpha=\pm\arccos(1-\frac{4gH}{v_0^2})+2\pi n, \quad n \in Z$[NEWLINE] $\alpha=\pm\frac{1}{2}\arccos(1-\frac{4gH}{v_0^2})+\pi n, \quad n \in Z$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Не забываем, что ответ должен быть в градусах, наименьший, да и отрицательный угол при броске — явно посторонний. Итого:[NEWLINE] $\alpha=\frac{1}{2}\arccos(1-\frac{4gH}{v_0^2})$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставляем:[NEWLINE] $\alpha=\frac{1}{2}\arccos(1-\frac{4\cdot10\cdot19,6}{28^2})$[NEWLINE] $\alpha= \frac{1}{2}\arccos(1-\frac{4\cdot196}{28^2})$[NEWLINE] $\alpha= \frac{1}{2}\arccos(1-\frac{(2\cdot14)^2}{28^2})$[NEWLINE] $\alpha= \frac{1}{2}\arccos0$[NEWLINE] $\alpha=\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ.$
Задание 10, (№734 в банке заданий)
Небольшой мячик бросают под острым углом \alpha к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos 2\alpha), где v_0 = 28 м/с — начальная скорость мячика, g = 10 м/с² — ускорение свободного падения. При каком наименьшем значении угла \alpha (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 18,6 м на расстоянии 1 м?

Решение:

Из текста выясняем, что H=18,6+1=19,6 .
Выразим (это гораздо удобнее) \alpha:
H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos 2\alpha)|\cdot\frac{4g}{v_0^2}
\frac{4gH}{v_0^2}=1-\cos2\alpha
\cos2\alpha=1-\frac{4gH}{v_0^2}
2\alpha=\pm\arccos(1-\frac{4gH}{v_0^2})+2\pi n, \quad n \in Z
\alpha=\pm\frac{1}{2}\arccos(1-\frac{4gH}{v_0^2})+\pi n, \quad n \in Z
Не забываем, что ответ должен быть в градусах, наименьший, да и отрицательный угол при броске — явно посторонний. Итого:
\alpha=\frac{1}{2}\arccos(1-\frac{4gH}{v_0^2})
Подставляем:
\alpha=\frac{1}{2}\arccos(1-\frac{4\cdot10\cdot19,6}{28^2})
\alpha= \frac{1}{2}\arccos(1-\frac{4\cdot196}{28^2})
\alpha= \frac{1}{2}\arccos(1-\frac{(2\cdot14)^2}{28^2})
\alpha= \frac{1}{2}\arccos0
\alpha=\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ.

Ответ: 45

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com