В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.[NEWLINE] Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 520 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Обозначим: [NEWLINE] $A$ — сумма кредита (в рублях), [NEWLINE] $k = 1{,}3$ — коэффициент увеличения долга, [NEWLINE] $x$ — ежегодный платёж. [NEWLINE] Составим таблицу: [NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1 & A & Ak & x \\ \hline 2 & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline 3 & Ak^2 - xk - x & (Ak^2 - xk - x)k & x \\ \hline \end{array} \] [NEWLINE] После третьего платежа долг равен нулю: [NEWLINE] \[ (Ak^2 - xk - x)k - x = 0 \] [NEWLINE] \[ Ak^3 - xk^2 - xk - x = 0 \] [NEWLINE] \[ Ak^3 = x(k^2 + k + 1) \] [NEWLINE] \[ x = \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} \] [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] Общая сумма платежей это $3x$. По условию: [NEWLINE] \[ 3x = A + 520\,200 \] [NEWLINE] Подставим $x$: [NEWLINE] \[ 3 \cdot \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} = A + 520\,200 \] [NEWLINE] \(\) [NEWLINE] Подставим $k = 1{,}3$: \[ 3 \cdot \frac{A \cdot (1{,}3)^3}{(1{,}3)^2 + 1{,}3 + 1} = A + 520\,200 \] [NEWLINE] \[ 3 \cdot \frac{A \cdot 2{,}197}{1{,}69 + 1{,}3 + 1} = A + 520\,200 \] [NEWLINE] \[ 3 \cdot \frac{2{,}197A}{3{,}99} = A + 520\,200 \] [NEWLINE] \[ \frac{2{,}197A}{1{,}33}-A = 520\,200 \] [NEWLINE] \[ \frac{0{,}867A}{1{,}33} = 520\,200 |\cdot \frac{1{,}33}{0{,}867} \] [NEWLINE] \[ A = \frac{520\,200\cdot 1,33}{0{,}867} = 798\,000 \]
Задание 13, (№739 в банке заданий)
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 30 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 520 200 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение:

Обозначим:
A — сумма кредита (в рублях),
k = 1{,}3 — коэффициент увеличения долга,
x — ежегодный платёж.
Составим таблицу:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1 & A & Ak & x \\ \hline 2 & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline 3 & Ak^2 - xk - x & (Ak^2 - xk - x)k & x \\ \hline \end{array}
После третьего платежа долг равен нулю:
(Ak^2 - xk - x)k - x = 0
Ak^3 - xk^2 - xk - x = 0
Ak^3 = x(k^2 + k + 1)
x = \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1}
Общая сумма платежей это 3x . По условию:
3x = A + 520\,200
Подставим x :
3 \cdot \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} = A + 520\,200
Подставим k = 1{,}3 : 3 \cdot \frac{A \cdot (1{,}3)^3}{(1{,}3)^2 + 1{,}3 + 1} = A + 520\,200
3 \cdot \frac{A \cdot 2{,}197}{1{,}69 + 1{,}3 + 1} = A + 520\,200
3 \cdot \frac{2{,}197A}{3{,}99} = A + 520\,200
\frac{2{,}197A}{1{,}33}-A = 520\,200
\frac{0{,}867A}{1{,}33} = 520\,200 |\cdot \frac{1{,}33}{0{,}867}
A = \frac{520\,200\cdot 1,33}{0{,}867} = 798\,000

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com