Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой
$
H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos 2\alpha),
$
где $v_0 = 22$ м/с — начальная скорость мячика, $g = 10$ м/с² — ускорение свободного падения. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 5,05 м на расстоянии 1 м?
Из текста выясняем, что высота полёта должна быть не меньше $H = 5{,}05 + 1 = 6{,}05$ м. [NEWLINE]
Выразим $\alpha$: [NEWLINE]
\[
H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos 2\alpha) \quad \Big| \cdot \frac{4g}{v_0^2}
\] [NEWLINE]
\[
\frac{4gH}{v_0^2} = 1 - \cos 2\alpha
\] [NEWLINE]
\[
\cos 2\alpha = 1 - \frac{4gH}{v_0^2}
\] [NEWLINE]
\[
2\alpha = \pm \arccos\!\left(1 - \frac{4gH}{v_0^2}\right) + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}
\] [NEWLINE]
\[
\alpha = \pm \frac{1}{2} \arccos\!\left(1 - \frac{4gH}{v_0^2}\right) + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}
\] [NEWLINE]
\(\) [NEWLINE]
Не забываем, что ответ должен быть в градусах, наименьший, и $\alpha$ — острый угол ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$), отрицательные и большие $90^\circ$ — посторонние. Итого: [NEWLINE]
\[
\alpha = \frac{1}{2} \arccos\!\left(1 - \frac{4gH}{v_0^2}\right)
\] [NEWLINE]
\(\) [NEWLINE]
Подставляем:
\[
\alpha = \frac{1}{2} \arccos\!\left(1 - \frac{4 \cdot 10 \cdot 6{,}05}{22^2}\right)
\] [NEWLINE]
$ \alpha = \frac{1}{2} \arccos\!\left(1 - \frac{242}{484}\right) = $$\frac{1}{2} \arccos\!\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \arccos\!\left(\frac{1}{2}\right)$ [NEWLINE]
$
\arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ \quad \Rightarrow $$\quad \alpha = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ
$
Небольшой мячик бросают под острым углом к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой
где м/с — начальная скорость мячика, м/с² — ускорение свободного падения. При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 5,05 м на расстоянии 1 м?
Решение:
Из текста выясняем, что высота полёта должна быть не меньше м.
Выразим :
Не забываем, что ответ должен быть в градусах, наименьший, и — острый угол (), отрицательные и большие — посторонние. Итого:
Подставляем:
Ответ: 30
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день