а) $\sin 2x = 2\sin x \cos x,$ $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos x.$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] \[ \sin 2x = \sqrt{3} \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) \Rightarrow 2\sin x \cos x = \sqrt{3} \cos x \] [NEWLINE] \[ 2\sin x \cos x - \sqrt{3} \cos x = 0 \] [NEWLINE] \[ \cos x \left(2\sin x - \sqrt{3}\right) = 0 \] [NEWLINE] [TWO-COLUMNS] $\cos x = 0$ [NEWLINE] $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$ [COLUMN-BREAK] $2\sin x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ [NEWLINE] \[\left[\begin{aligned}&x_1 = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z} \\&x_2 = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi m,\quad m \in \mathbb{Z}\end{aligned}\right.\] [/TWO-COLUMNS] [NEWLINE] \(\)[NEWLINE] б) Отберём корни с помощью тригонометрической окружности: [NEWLINE] [image:0:left] Нанесём корни и отрезок $\left[-\dfrac{7\pi}{2};\; -2\pi\right]$ на единичную окружность.[IMAGENEWLINE] \(x_1\) и $x_3$ получаются пересечением окружности с координатной плоскостью, а $x_2$ — движением от \(-2\pi\) вперед на \(\frac{\pi}{4}\), а остальные корни не попадают в заданный отрезок.[IMAGENEWLINE] $x_1=-\frac{7\pi}{2};$[IMAGENEWLINE] $x_2=-3\pi-\frac{\pi}{3}=-\frac{10\pi}{3};$[IMAGENEWLINE] $x_3=-\frac{5\pi}{2}.$[IMAGENEWLINE] [IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] а) $x=\frac{\pi}{2}+\pi n;$ \(\left[\begin{aligned} & x_1=\frac{\pi}{4} +2\pi k, \quad k \in Z \\& x_2=\frac{3\pi}{4}+2\pi m, \quad m \in Z \\\end{aligned}\right.\)[IMAGENEWLINE] б) $x_1=-\frac{5\pi}{2};$ $x_2=-\frac{7\pi}{4};$ $x_3=-\frac{3\pi}{2}.$