В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: [NEWLINE] — каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE] — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. [NEWLINE] Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 239 050 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Обозначим: [NEWLINE] $A$ — сумма кредита (в рублях), [NEWLINE] $k = 1{,}1$ — коэффициент увеличения долга (10 %), [NEWLINE] $x$ — ежегодный платёж.[NEWLINE] Составим таблицу:[NEWLINE] \[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1 & A & Ak & x \\ \hline 2 & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline 3 & Ak^2 - xk - x & (Ak^2 - xk - x)k & x \\ \hline \end{array} \][NEWLINE] После третьего платежа долг равен нулю:[NEWLINE] \[ (Ak^2 - xk - x)k - x = 0 \][NEWLINE] \[ Ak^3 - xk^2 - xk - x = 0 \][NEWLINE] \[ Ak^3 = x(k^2 + k + 1) \][NEWLINE] \[ x = \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Общая сумма платежей — $3x$. По условию:[NEWLINE] \[ 3x = A + 239050 \][NEWLINE] Подставим $x$: \[ 3 \cdot \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} = A + 239050 \][NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Подставим $k = 1{,}1$:[NEWLINE] \[ k = 1{,}1,\quad k^2 = 1{,}21,\quad k^3 = 1{,}331 \][NEWLINE] \[ k^2 + k + 1 = 1{,}21 + 1{,}1 + 1 = 3{,}31 \][NEWLINE] \[ 3 \cdot \frac{A \cdot 1{,}331}{3{,}31} = A + 239050 \][NEWLINE] \[ \frac{3{,}993A}{3{,}31} = A + 239050 \][NEWLINE] \[ \frac{3{,}993A - 3{,}31A}{3{,}31} = 239050 \][NEWLINE] \[ \frac{0{,}683A}{3{,}31} = 239050 \][NEWLINE] \[ 0{,}683A = 239050 \cdot 3{,}31 \][NEWLINE] \[ A = 350000\cdot3,31 = 1158500 \]
Задание 13, (№749 в банке заданий)
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 239 050 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Решение:

Обозначим:
A — сумма кредита (в рублях),
k = 1{,}1 — коэффициент увеличения долга (10 %),
x — ежегодный платёж.
Составим таблицу:
\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг до %} & \text{Долг после %} & \text{Выплата} \\ \hline 1 & A & Ak & x \\ \hline 2 & Ak - x & (Ak - x)k & x \\ \hline 3 & Ak^2 - xk - x & (Ak^2 - xk - x)k & x \\ \hline \end{array}
После третьего платежа долг равен нулю:
(Ak^2 - xk - x)k - x = 0
Ak^3 - xk^2 - xk - x = 0
Ak^3 = x(k^2 + k + 1)
x = \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1}
Общая сумма платежей — 3x . По условию:
3x = A + 239050
Подставим x : 3 \cdot \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} = A + 239050
Подставим k = 1{,}1 :
k = 1{,}1,\quad k^2 = 1{,}21,\quad k^3 = 1{,}331
k^2 + k + 1 = 1{,}21 + 1{,}1 + 1 = 3{,}31
3 \cdot \frac{A \cdot 1{,}331}{3{,}31} = A + 239050
\frac{3{,}993A}{3{,}31} = A + 239050
\frac{3{,}993A - 3{,}31A}{3{,}31} = 239050
\frac{0{,}683A}{3{,}31} = 239050
0{,}683A = 239050 \cdot 3{,}31
A = 350000\cdot3,31 = 1158500

Ответ:

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com