Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0{,}5x^2 + 2x + 6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы в млн рублей за один год составит $px - (0{,}5x^2 + 2x + 6)$. Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год $p = 10$, а далее каждый год $p$ возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?
Прибыль за год: [NEWLINE]
\[
f(x) = px - (0{,}5x^2 + 2x + 6) = -0{,}5x^2 + (p - 2)x - 6
\][NEWLINE]
Это квадратичная функция, график — парабола, ветви вниз → максимум в вершине: [NEWLINE]
\[
x_0 = \frac{-(p - 2)}{2 \cdot (-0{,}5)} = \frac{p - 2}{1} = p - 2
\][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Максимальная прибыль: [NEWLINE]
\[
f(x_0) = f(p - 2) = -0{,}5(p - 2)^2 + (p - 2)(p - 2) - 6 = 0{,}5(p - 2)^2 - 6
\][NEWLINE]
То есть: [NEWLINE]
\[
f_{\max}(p) = \frac{(p - 2)^2}{2} - 6
\][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Рассмотрим по годам:[NEWLINE]
\(\) [NEWLINE]
[BOLD]1-й год:[/BOLD] $p = 10$ [NEWLINE]
\[
x_0 = 10 - 2 = 8
\] [NEWLINE]
\[
f(8) = -0{,}5 \cdot 64 + (10 - 2) \cdot 8 - 6 = -32 + 64 - 6 = 26 \text{ млн}
\] [NEWLINE]
\(\) [NEWLINE]
[BOLD]2-й год:[/BOLD] $p = 11$ [NEWLINE]
\[
x_0 = 11 - 2 = 9
\] [NEWLINE]
\[
f(9) = -0{,}5 \cdot 81 + 9 \cdot 9 - 6 = -40{,}5 + 81 - 6 = 34{,}5 \text{ млн}
\] [NEWLINE]
\(\) [NEWLINE]
[BOLD]3-й год: [/BOLD]$p = 12$ [NEWLINE]
\[
x_0 = 12 - 2 = 10
\] [NEWLINE]
\[
f(10) = -0{,}5 \cdot 100 + 10 \cdot 10 - 6 = -50 + 100 - 6 = 44 \text{ млн}
\] [NEWLINE]
\(\) [NEWLINE]
[BOLD]4-й год:[/BOLD] $p = 13$ [NEWLINE]
\[
x_0 = 13 - 2 = 11
\] [NEWLINE]
\[
f(11) = -0{,}5 \cdot 121 + 11 \cdot 11 - 6 = -60{,}5 + 121 - 6 = 54{,}5 \text{ млн}
\] [NEWLINE]
\(\) [NEWLINE]
Суммируем прибыли: [NEWLINE]
\(\) [NEWLINE]
- После 1 года: $26$ [NEWLINE]
- После 2 лет: $26 + 34{,}5 = 60{,}5$ [NEWLINE]
- После 3 лет: $60{,}5 + 44 = 104{,}5$ [NEWLINE]
- После 4 лет: $104{,}5 + 54{,}5 = 159$ [NEWLINE]
\(\) [NEWLINE]
Кайф, точно равно стоимости завода. [NEWLINE]
\(\) [NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] 4
Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство тыс. ед. продукции на таком заводе равны млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы в млн рублей за один год составит . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год , а далее каждый год возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?
Решение:
Прибыль за год:
Это квадратичная функция, график — парабола, ветви вниз → максимум в вершине:
Максимальная прибыль:
То есть:
Рассмотрим по годам:
1-й год:
2-й год:
3-й год:
4-й год:
Суммируем прибыли:
- После 1 года:
- После 2 лет:
- После 3 лет:
- После 4 лет:
Кайф, точно равно стоимости завода.
Ответ: 4
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день