В правильной четырёхугольной призме ABCD A₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 40, а боковое ребро AA₁ равно 20√2. На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C₁L = 10. Плоскость $\gamma$ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.[NEWLINE]
а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости $\gamma$. [NEWLINE]
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости $\gamma$.
[image:0:right]а) Построим плоскость $\gamma$:[IMAGENEWLINE]
Проведём $MK||BD,$ соединим $M$ и $L,$ $K$ и $N:$ $MLNK$ — искомая плоскость.[IMAGENEWLINE]
$AC\cap MK=Q, A_1C_1\cap NL=R$[IMAGENEWLINE]
Рассмотрим плоскость $ACC_1A_1:$ [IMAGENEWLINE]
Это прямоугольник. $A_1C\cap QR=P.$ Заметим, что так как $ABCD$ — квадрат, то $AO=OC=BO=OD.$ [IMAGENEWLINE]
Тогда, по теореме Фалеса, $QK=QM,NR=RL.$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE]
[BOLD]Прямая перпендикулярна плоскости тогда, когда перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.[/BOLD]
Докажем, что $ A_1C\perp KM,A_1C \perp QR:$[IMAGENEWLINE]
1) $A_1C\perp KM$ по теореме о трёх перпендикулярах, так как $ABCD$ — квадрат, а у него все диагонали взаимно перпендикулярны (по свойству). То есть $AC \perp KM,$ так как $BD ||KM.$ $AA_1\perp AC,$ так как это правильная призма.[IMAGENEWLINE]
[image:1:right]2) Здесь удобнее ввести систему координат $xOy,$ рассмотрев плоскость $AA_1C_1C.$ Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:[IMAGENEWLINE]
$A_1(0;0), \quad A(0;20\sqrt2), \quad C_1(40\sqrt2;0), \quad C(40\sqrt2;20\sqrt2).$[IMAGENEWLINE]
$C_1R=5\sqrt2$ как высота равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами $C_1N=C_1L=10\rightarrow R(35\sqrt{2};0)$[IMAGENEWLINE]
Аналогично, $CQ=15\sqrt{2}\rightarrow Q(25\sqrt{2};20\sqrt{2})$[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
$\overrightarrow{A_1C}(40\sqrt{2};20\sqrt{2}), \overrightarrow{QR}(10\sqrt{2};-20\sqrt{2})$[IMAGENEWLINE]
$\overrightarrow{A_1C}\cdot\overrightarrow{QR}=40\sqrt{2}\cdot10\sqrt2+20\sqrt2\cdot(-20\sqrt2)=0$[IMAGENEWLINE]
Откуда следует, что $A_1C\perp QR$[IMAGENEWLINE]
Значит $A_1C \perp (MLNK),$ чтд.[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
[image:2:right]б) Так как $BD||KM,$ то $ON$ — искомое расстояние от точки $B$ до $\gamma$[IMAGENEWLINE]
$\angle RQT=\angle OQN\rightarrow\sin \angle RQT=\sin\angle OQN$[IMAGENEWLINE]
$\sin \angle RQT=\frac{RT}{QR},$ где $RT=CC_1=20\sqrt2$[IMAGENEWLINE]
$QR$ найдём через длину вектора (см. п. а):$QR=\sqrt{(10\sqrt2)^2+(-20\sqrt2)^2}=10\sqrt{10}.$[IMAGENEWLINE]
Следовательно, $\sin \angle OQN=\frac{ON}{OQ}\rightarrow ON=OQ\cdot\sin\angle OQN$[IMAGENEWLINE]
$ON=\frac{OQ\cdot RT}{RQ}=\frac{5\sqrt2\cdot20\sqrt2}{10\sqrt{10}}=2\sqrt{10}$[IMAGENEWLINE]
[IMAGENEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] $2\sqrt{10}$
В правильной четырёхугольной призме ABCD A₁B₁C₁D₁ сторона AB основания равна 40, а боковое ребро AA₁ равно 20√2. На рёбрах BC и C₁D₁ отмечены точки K и L соответственно, причём BK = C₁L = 10. Плоскость параллельна прямой BD и содержит точки K и L.
а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости .
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости .
а) Докажите, что прямая A₁C перпендикулярна плоскости .
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости .
Решение:
а) Построим плоскость :
Проведём соединим и и — искомая плоскость.
Рассмотрим плоскость
Это прямоугольник. Заметим, что так как — квадрат, то
Тогда, по теореме Фалеса,
Прямая перпендикулярна плоскости тогда, когда перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Докажем, что
1) по теореме о трёх перпендикулярах, так как — квадрат, а у него все диагонали взаимно перпендикулярны (по свойству). То есть так как так как это правильная призма.
Проведём соединим и и — искомая плоскость.
Рассмотрим плоскость
Это прямоугольник. Заметим, что так как — квадрат, то
Тогда, по теореме Фалеса,
Прямая перпендикулярна плоскости тогда, когда перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Докажем, что
1) по теореме о трёх перпендикулярах, так как — квадрат, а у него все диагонали взаимно перпендикулярны (по свойству). То есть так как так как это правильная призма.
2) Здесь удобнее ввести систему координат рассмотрев плоскость Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:
как высота равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами
Аналогично,
Откуда следует, что
Значит чтд.
как высота равнобедренного прямоугольного треугольника с катетами
Аналогично,
Откуда следует, что
Значит чтд.
б) Так как то — искомое расстояние от точки до
где
найдём через длину вектора (см. п. а):
Следовательно,
Ответ:
где
найдём через длину вектора (см. п. а):
Следовательно,
Ответ:
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день