В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму $A$ рублей. Условия его возврата таковы: [NEWLINE]
— каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года; [NEWLINE]
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга. [NEWLINE]
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Обозначим: [NEWLINE]
$A$ — сумма кредита (в рублях), [NEWLINE]
$k = 1{,}25 = \dfrac{5}{4}$ — коэффициент увеличения долга (25 %), [NEWLINE]
$x$ — ежегодный платёж.[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Составим таблицу:[NEWLINE]
\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
\text{Год} & \text{Долг до \%} & \text{Долг после \%} & \text{Выплата} \\
\hline
1 & A & Ak & x \\
\hline
2 & Ak - x & (Ak - x)k & x \\
\hline
3 & Ak^2 - xk - x & (Ak^2 - xk - x)k & x \\
\hline
\end{array}
\][NEWLINE]
После третьего платежа долг равен нулю:[NEWLINE]
\[
(Ak^2 - xk - x)k - x = 0
\][NEWLINE]
\[
Ak^3 - xk^2 - xk - x = 0
\][NEWLINE]
\[
Ak^3 = x(k^2 + k + 1)
\][NEWLINE]
\[
x = \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1}
\][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Общая сумма платежей — $3x$. По условию:[NEWLINE]
\[
3x = A + 104800
\][NEWLINE]
Подставим $x$:
\[
3 \cdot \frac{Ak^3}{k^2 + k + 1} = A + 104800
\][NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Подставим $k = 1{,}25 = \dfrac{5}{4}$:[NEWLINE]
\[
k = \frac{5}{4},\quad k^2 = \frac{25}{16},\quad k^3 = \frac{125}{64}
\][NEWLINE]
\[
k^2 + k + 1 = \frac{25}{16} + \frac{5}{4} + 1 = \frac{25 + 20 + 16}{16} = \frac{61}{16}
\][NEWLINE]
\[
3 \cdot \frac{A \cdot \frac{125}{64}}{\frac{61}{16}} = A + 104800
\][NEWLINE]
\[
3 \cdot A \cdot \frac{125}{64} \cdot \frac{16}{61} = A + 104800
\][NEWLINE]
\[
3 \cdot A \cdot \frac{125}{4 \cdot 61} = A + 104800
\][NEWLINE]
\[
\frac{375A}{244} = A + 104800
\][NEWLINE]
\[
\frac{375A - 244A}{244} = 104800
\][NEWLINE]
\[
\frac{131A}{244} = 104800
\][NEWLINE]
\[
131A = 104800 \cdot 244
\][NEWLINE]
\[
131A = 131 \cdot 800 \cdot 244 \Rightarrow A = 800 \cdot 244 = 195\,200
\][NEWLINE]
[BOLD]Ответ:[/BOLD] 195200
В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?
— каждый январь долг увеличивается на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года) и общая сумма платежей после полного погашения кредита на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?
Решение:
Обозначим:
— сумма кредита (в рублях),
— коэффициент увеличения долга (25 %),
— ежегодный платёж.
Составим таблицу:
После третьего платежа долг равен нулю:
Общая сумма платежей — . По условию:
Подставим :
Подставим :
Ответ: 195200
Ответ:
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день