Даны векторы $\vec{a}(4; 2)$ и $\vec{b}(4; -2)$. Найдите косинус угла между ними.
Косинус угла между векторами находится по формуле:[NEWLINE] $$\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$[NEWLINE] Скалярное произведение векторов:[NEWLINE] $$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 4 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = 16 - 4 = 12$$[NEWLINE] Длина вектора $\vec{a}$:[NEWLINE] $$|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$[NEWLINE] Длина вектора $\vec{b}$:[NEWLINE] $$|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$[NEWLINE] Подставляем значения в формулу:[NEWLINE] $\cos \alpha = \frac{12}{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}} = $$\frac{12}{4 \cdot 5} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0{,}6$
Задание 2, (№820 в банке заданий)
Даны векторы \vec{a}(4; 2) и \vec{b}(4; -2) . Найдите косинус угла между ними.

Решение:

Косинус угла между векторами находится по формуле:
\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}
Скалярное произведение векторов:
\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 4 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) = 16 - 4 = 12
Длина вектора \vec{a} :
|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
Длина вектора \vec{b} :
|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
Подставляем значения в формулу:
\cos \alpha = \frac{12}{2\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{12}{4 \cdot 5} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} = 0{,}6

Ответ: 0,6

Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день

Вступить в Telegram-канал

Если в решении есть ошибка или у вас есть другое, более красивое решение, напишите сюда t.me/brunoxgod или по email: playmeek@gmail.com