$\frac{9^{x+1} + 9^x + 54}{81^x - 28 \cdot 9^x + 27} \geqslant -1.$[NEWLINE] Введём замену переменной. Пусть $t = 9^x,$ $t > 0$.[NEWLINE] Преобразуем выражения в неравенстве:[NEWLINE] $9^{x+1} = 9 \cdot 9^x = 9t$[NEWLINE] $81^x = (9^2)^x = (9^x)^2 = t^2$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] $\frac{9t + t + 54}{t^2 - 28t + 27} \geqslant -1$[NEWLINE] $\frac{10t + 54}{t^2 - 28t + 27} \geqslant -1$[NEWLINE] $\frac{10t + 54}{t^2 - 28t + 27} + 1 \geqslant 0$[NEWLINE] $\frac{10t + 54 + t^2 - 28t + 27}{t^2 - 28t + 27} \geqslant 0$[NEWLINE] $\frac{t^2 - 18t + 81}{t^2 - 28t + 27} \geqslant 0$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Разложим квадратные трёхчлены в числителе и знаменателе на множители:[NEWLINE] Числитель — полный квадрат: $t^2 - 18t + 81 = (t - 9)^2$.[NEWLINE] Знаменатель разложим по формуле $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$: $t^2 - 28t + 27 = (t - 1)(t - 27)$.[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] Получаем неравенство:[NEWLINE] $$\frac{(t - 9)^2}{(t - 1)(t - 27)} \geqslant 0$$[NEWLINE] Перейдём обратно к переменной $x:$ $\frac{(9^x-9)^2}{(9^x-1)(9^x-27)} \geq 0\Leftrightarrow\frac{(x-1)^2}{x(x-1,5)} \geq 0$[NEWLINE] \(\)[NEWLINE] [image:0:right]Нанесём результаты на числовую прямую, решим методом интервалов и получаем ответ:[IMAGENEWLINE] $$x \in (-\infty; 0) \cup \{1\} \cup (1.5; \infty)$$[IMAGENEWLINE][IMAGENEWLINE] [BOLD]Ответ:[/BOLD] $(-\infty; 0) \cup \{1\} \cup (1.5; \infty)$