Найдите точку максимума функции $y = 4 + 9x - x\sqrt{x}$.
Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой производная меняет свой знак с плюса на минус. Это делается с помощью производной и ее нулей, ведь если функция меняет возрастание на убывание, то значит она остановилась и "пошла" вниз.[NEWLINE]
ОДЗ функции: $\sqrt{x}$ требует $x \geq 0$. Перепишем функцию для удобства дифференцирования:[NEWLINE]
$$y = 4 + 9x - x^{1.5}$$[NEWLINE]
Используем правила дифференцирования:[NEWLINE]
$$((x^n)') = nx^{n-1}, \quad (CU)' = CU', \quad x'=1, \quad C'=0.$$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Вычислим производную функции $y$:[NEWLINE]
$$y' = (4)' + (9x)' - (x^{1.5})'$$[NEWLINE]
$$y' = 0 + 9 - 1.5 \cdot x^{1.5-1}$$[NEWLINE]
$$y' = 9 - \frac{3}{2}x^{0.5} = 9 - 1.5\sqrt{x}$$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Найдем нули производной (критические точки):
$$9 - 1.5\sqrt{x} = 0$$[NEWLINE]
$$1.5\sqrt{x} = 9$$[NEWLINE]
$$\sqrt{x} = \frac{9}{1.5} = 6$$[NEWLINE]
$$x = 36$$[NEWLINE]
\(\)[NEWLINE]
Эта точка является точкой максимума, так как при $ x \gt 36 $ функция возрастает, а при $ x \lt 36 $ функция убывает.
Найдите точку максимума функции .
Решение:
Точки экстремума — точки, в которых функция меняет промежуток убывания на промежуток возрастания и наоборот. Так как нам нужно найти точку максимума функции, это значит, что нужно найти точку, в которой производная меняет свой знак с плюса на минус. Это делается с помощью производной и ее нулей, ведь если функция меняет возрастание на убывание, то значит она остановилась и "пошла" вниз.
ОДЗ функции: требует . Перепишем функцию для удобства дифференцирования:
Используем правила дифференцирования:
Вычислим производную функции :
Найдем нули производной (критические точки):
Эта точка является точкой максимума, так как при функция возрастает, а при функция убывает.
Ответ: 36
Готовитесь к ЕГЭ по математике (профиль)?
Свежие варианты, разборы и лайфхаки каждый день